Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25148 / 57388
↖ ↑ ↗
← N 21.830907°
W110.928955°		 ← 283.52 m → N 21.830907°
W110.926208°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.828357°
W110.928955°		 ← 283.53 m →
80 382 m²		 N 21.828357°
W110.926208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191867828369141 y=0.437839508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191867828369141 × 217)
    floor (0.191867828369141 × 131072)
    floor (25148.5)     		tx = 25148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437839508056641 × 217)
    floor (0.437839508056641 × 131072)
    floor (57388.5)     		ty = 57388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25148 / 57388 ti = "17/25148/57388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25148/57388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25148 ÷ 217
    25148 ÷ 131072     		x = 0.191864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57388 ÷ 217
    57388 ÷ 131072     		y = 0.437835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.61627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.93607550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    0.12432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390589858104218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93607550} λ = -1.93607550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390589858104218))-π/2
    2×atan(1.47785225996909)-π/2
    2×0.975908763392788-π/2
    1.95181752678558-1.57079632675     		φ = 0.38102120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93607550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38102120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25148 KachelY 57388 -1.93607550 0.38102120 -110.928955 21.830907
    Oben rechts KachelX + 1 25149 KachelY 57388 -1.93602756 0.38102120 -110.926208 21.830907
    Unten links KachelX 25148 KachelY + 1 57389 -1.93607550 0.38097670 -110.928955 21.828357
    Unten rechts KachelX + 1 25149 KachelY + 1 57389 -1.93602756 0.38097670 -110.926208 21.828357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38102120-0.38097670) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38102120-0.38097670) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93607550--1.93602756) × cos(0.38102120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928285367430326 × 6371000     		do = 283.522245278393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93607550--1.93602756) × cos(0.38097670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928301914665155 × 6371000     		du = 283.527299229836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38102120)-sin(0.38097670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928285367430326-0.928301914665155)×R²
    abs(-1.93602756--1.93607550)×1.65472348294671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65472348294671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65472348294671e-05×40589641000000     		ar = 80381.9664326084m²