Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25148 / 24374
↖ ↑ ↗
← S 65.612952°
E 96.284180°		 ← 504.41 m → S 65.612952°
E 96.295166°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
S 65.617487°
E 96.284180°		 ← 504.33 m →
254 368 m²		 S 65.617487°
E 96.295166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767471313476562 y=0.743850708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767471313476562 × 215)
    floor (0.767471313476562 × 32768)
    floor (25148.5)     		tx = 25148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743850708007812 × 215)
    floor (0.743850708007812 × 32768)
    floor (24374.5)     		ty = 24374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25148 / 24374 ti = "15/25148/24374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25148/24374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25148 ÷ 215
    25148 ÷ 32768     		x = 0.7674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24374 ÷ 215
    24374 ÷ 32768     		y = 0.74383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53206331185699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68047595} λ = 1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53206331185699))-π/2
    2×atan(0.21608934731319)-π/2
    2×0.212817143662397-π/2
    0.425634287324793-1.57079632675     		φ = -1.14516204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14516204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.612952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25148 KachelY 24374 1.68047595 -1.14516204 96.284180 -65.612952
    Oben rechts KachelX + 1 25149 KachelY 24374 1.68066770 -1.14516204 96.295166 -65.612952
    Unten links KachelX 25148 KachelY + 1 24375 1.68047595 -1.14524120 96.284180 -65.617487
    Unten rechts KachelX + 1 25149 KachelY + 1 24375 1.68066770 -1.14524120 96.295166 -65.617487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14516204--1.14524120) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dl = 504.328360000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14516204--1.14524120) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dr = 504.328360000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68047595-1.68066770) × cos(-1.14516204) × R
    0.000191750000000157 × 0.412898558600238 × 6371000     		do = 504.413085454889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68047595-1.68066770) × cos(-1.14524120) × R
    0.000191750000000157 × 0.412826460197729 × 6371000     		du = 504.325007216522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14516204)-sin(-1.14524120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412898558600238-0.412826460197729)×R²
    abs(1.68066770-1.68047595)×7.20984025086024e-05×R²
    0.000191750000000157×7.20984025086024e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.20984025086024e-05×40589641000000     		ar = 254367.614105917m²