Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25145 / 24886
↖ ↑ ↗
← S 67.834128°
E 96.251221°		 ← 460.91 m → S 67.834128°
E 96.262207°		 →
↑
460.81 m
↓
↑
460.81 m
↓
S 67.838272°
E 96.251221°		 ← 460.83 m →
212 376 m²		 S 67.838272°
E 96.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767379760742188 y=0.759475708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767379760742188 × 215)
    floor (0.767379760742188 × 32768)
    floor (25145.5)     		tx = 25145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759475708007812 × 215)
    floor (0.759475708007812 × 32768)
    floor (24886.5)     		ty = 24886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25145 / 24886 ti = "15/25145/24886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25145/24886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25145 ÷ 215
    25145 ÷ 32768     		x = 0.767364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24886 ÷ 215
    24886 ÷ 32768     		y = 0.75946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767364501953125 × 2 - 1) × π
    0.53472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67990071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.5189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63023808227887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67990071} λ = 1.67990071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63023808227887))-π/2
    2×atan(0.195882932319917)-π/2
    2×0.193433724880731-π/2
    0.386867449761462-1.57079632675     		φ = -1.18392888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67990071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18392888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.834128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25145 KachelY 24886 1.67990071 -1.18392888 96.251221 -67.834128
    Oben rechts KachelX + 1 25146 KachelY 24886 1.68009246 -1.18392888 96.262207 -67.834128
    Unten links KachelX 25145 KachelY + 1 24887 1.67990071 -1.18400121 96.251221 -67.838272
    Unten rechts KachelX + 1 25146 KachelY + 1 24887 1.68009246 -1.18400121 96.262207 -67.838272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18392888--1.18400121) × R
    7.23299999998428e-05 × 6371000     		dl = 460.814429998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18392888--1.18400121) × R
    7.23299999998428e-05 × 6371000     		dr = 460.814429998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67990071-1.68009246) × cos(-1.18392888) × R
    0.000191749999999935 × 0.377289227649855 × 6371000     		do = 460.911329099092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67990071-1.68009246) × cos(-1.18400121) × R
    0.000191749999999935 × 0.377222242176902 × 6371000     		du = 460.829497016153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18392888)-sin(-1.18400121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377289227649855-0.377222242176902)×R²
    abs(1.68009246-1.67990071)×6.69854729528074e-05×R²
    0.000191749999999935×6.69854729528074e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.69854729528074e-05×40589641000000     		ar = 212375.736789165m²