Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25144 / 25343
↖ ↑ ↗
← S 69.653267°
E 96.240234°		 ← 424.76 m → S 69.653267°
E 96.251221°		 →
↑
424.69 m
↓
↑
424.69 m
↓
S 69.657086°
E 96.240234°		 ← 424.69 m →
180 377 m²		 S 69.657086°
E 96.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767349243164062 y=0.773422241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767349243164062 × 215)
    floor (0.767349243164062 × 32768)
    floor (25144.5)     		tx = 25144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773422241210938 × 215)
    floor (0.773422241210938 × 32768)
    floor (25343.5)     		ty = 25343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25144 / 25343 ti = "15/25144/25343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25144/25343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25144 ÷ 215
    25144 ÷ 32768     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25343 ÷ 215
    25343 ÷ 32768     		y = 0.773406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71786673478433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71786673478433))-π/2
    2×atan(0.17944855123497)-π/2
    2×0.177558744375063-π/2
    0.355117488750126-1.57079632675     		φ = -1.21567884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21567884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.653267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25144 KachelY 25343 1.67970896 -1.21567884 96.240234 -69.653267
    Oben rechts KachelX + 1 25145 KachelY 25343 1.67990071 -1.21567884 96.251221 -69.653267
    Unten links KachelX 25144 KachelY + 1 25344 1.67970896 -1.21574550 96.240234 -69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 25145 KachelY + 1 25344 1.67990071 -1.21574550 96.251221 -69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21567884--1.21574550) × R
    6.66599999998851e-05 × 6371000     		dl = 424.690859999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21567884--1.21574550) × R
    6.66599999998851e-05 × 6371000     		dr = 424.690859999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.67990071) × cos(-1.21567884) × R
    0.000191750000000157 × 0.347700523917328 × 6371000     		do = 424.764607263319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.67990071) × cos(-1.21574550) × R
    0.000191750000000157 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 424.688252898613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21567884)-sin(-1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347700523917328-0.347638022352561)×R²
    abs(1.67990071-1.67970896)×6.25015647672811e-05×R²
    0.000191750000000157×6.25015647672811e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.25015647672811e-05×40589641000000     		ar = 180377.432922603m²