Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25142 / 24674
↖ ↑ ↗
← S 66.938669°
E 96.218262°		 ← 478.54 m → S 66.938669°
E 96.229248°		 →
↑
478.46 m
↓
↑
478.46 m
↓
S 66.942972°
E 96.218262°		 ← 478.45 m →
228 941 m²		 S 66.942972°
E 96.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767288208007812 y=0.753005981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767288208007812 × 215)
    floor (0.767288208007812 × 32768)
    floor (25142.5)     		tx = 25142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753005981445312 × 215)
    floor (0.753005981445312 × 32768)
    floor (24674.5)     		ty = 24674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25142 / 24674 ti = "15/25142/24674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25142/24674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25142 ÷ 215
    25142 ÷ 32768     		x = 0.76727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24674 ÷ 215
    24674 ÷ 32768     		y = 0.75299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    0.5345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67932547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.5059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58958759140106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67932547} λ = 1.67932547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58958759140106))-π/2
    2×atan(0.204009729754342)-π/2
    2×0.20124807946956-π/2
    0.40249615893912-1.57079632675     		φ = -1.16830017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67932547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16830017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.938669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25142 KachelY 24674 1.67932547 -1.16830017 96.218262 -66.938669
    Oben rechts KachelX + 1 25143 KachelY 24674 1.67951722 -1.16830017 96.229248 -66.938669
    Unten links KachelX 25142 KachelY + 1 24675 1.67932547 -1.16837527 96.218262 -66.942972
    Unten rechts KachelX + 1 25143 KachelY + 1 24675 1.67951722 -1.16837527 96.229248 -66.942972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16830017--1.16837527) × R
    7.51000000001056e-05 × 6371000     		dl = 478.462100000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16830017--1.16837527) × R
    7.51000000001056e-05 × 6371000     		dr = 478.462100000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67932547-1.67951722) × cos(-1.16830017) × R
    0.000191749999999935 × 0.391716239386765 × 6371000     		do = 478.535932897106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67932547-1.67951722) × cos(-1.16837527) × R
    0.000191749999999935 × 0.391647139817858 × 6371000     		du = 478.451518151571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16830017)-sin(-1.16837527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391716239386765-0.391647139817858)×R²
    abs(1.67951722-1.67932547)×6.9099568906994e-05×R²
    0.000191749999999935×6.9099568906994e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.9099568906994e-05×40589641000000     		ar = 228941.112858873m²