Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25142 / 24387
↖ ↑ ↗
← S 65.671856°
E 96.218262°		 ← 503.27 m → S 65.671856°
E 96.229248°		 →
↑
503.25 m
↓
↑
503.25 m
↓
S 65.676382°
E 96.218262°		 ← 503.18 m →
253 246 m²		 S 65.676382°
E 96.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767288208007812 y=0.744247436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767288208007812 × 215)
    floor (0.767288208007812 × 32768)
    floor (25142.5)     		tx = 25142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744247436523438 × 215)
    floor (0.744247436523438 × 32768)
    floor (24387.5)     		ty = 24387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25142 / 24387 ti = "15/25142/24387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25142/24387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25142 ÷ 215
    25142 ÷ 32768     		x = 0.76727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24387 ÷ 215
    24387 ÷ 32768     		y = 0.744232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    0.5345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67932547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.48846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53455603063724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67932547} λ = 1.67932547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53455603063724))-π/2
    2×atan(0.215551368132903)-π/2
    2×0.212303107488598-π/2
    0.424606214977196-1.57079632675     		φ = -1.14619011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67932547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14619011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.671856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25142 KachelY 24387 1.67932547 -1.14619011 96.218262 -65.671856
    Oben rechts KachelX + 1 25143 KachelY 24387 1.67951722 -1.14619011 96.229248 -65.671856
    Unten links KachelX 25142 KachelY + 1 24388 1.67932547 -1.14626910 96.218262 -65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 25143 KachelY + 1 24388 1.67951722 -1.14626910 96.229248 -65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14619011--1.14626910) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dl = 503.245290000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14619011--1.14626910) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dr = 503.245290000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67932547-1.67951722) × cos(-1.14619011) × R
    0.000191749999999935 × 0.411961998032156 × 6371000     		do = 503.268946304334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67932547-1.67951722) × cos(-1.14626910) × R
    0.000191749999999935 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 503.181016309733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14619011)-sin(-1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411961998032156-0.411890020977881)×R²
    abs(1.67951722-1.67932547)×7.19770542746412e-05×R²
    0.000191749999999935×7.19770542746412e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.19770542746412e-05×40589641000000     		ar = 253245.601784892m²