Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25141 / 25338
↖ ↑ ↗
← S 69.634158°
E 96.207275°		 ← 425.15 m → S 69.634158°
E 96.218262°		 →
↑
425.14 m
↓
↑
425.14 m
↓
S 69.637981°
E 96.207275°		 ← 425.07 m →
180 729 m²		 S 69.637981°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767257690429688 y=0.773269653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767257690429688 × 215)
    floor (0.767257690429688 × 32768)
    floor (25141.5)     		tx = 25141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773269653320312 × 215)
    floor (0.773269653320312 × 32768)
    floor (25338.5)     		ty = 25338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25141 / 25338 ti = "15/25141/25338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25141/25338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25141 ÷ 215
    25141 ÷ 32768     		x = 0.767242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25338 ÷ 215
    25338 ÷ 32768     		y = 0.77325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767242431640625 × 2 - 1) × π
    0.53448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67913372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.5465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71690799679193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67913372} λ = 1.67913372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71690799679193))-π/2
    2×atan(0.179620677877712)-π/2
    2×0.177725496160856-π/2
    0.355450992321713-1.57079632675     		φ = -1.21534533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67913372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21534533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.634158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25141 KachelY 25338 1.67913372 -1.21534533 96.207275 -69.634158
    Oben rechts KachelX + 1 25142 KachelY 25338 1.67932547 -1.21534533 96.218262 -69.634158
    Unten links KachelX 25141 KachelY + 1 25339 1.67913372 -1.21541206 96.207275 -69.637981
    Unten rechts KachelX + 1 25142 KachelY + 1 25339 1.67932547 -1.21541206 96.218262 -69.637981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21534533--1.21541206) × R
    6.67300000001259e-05 × 6371000     		dl = 425.136830000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21534533--1.21541206) × R
    6.67300000001259e-05 × 6371000     		dr = 425.136830000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67913372-1.67932547) × cos(-1.21534533) × R
    0.000191749999999935 × 0.348013205433042 × 6371000     		do = 425.146591275173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67913372-1.67932547) × cos(-1.21541206) × R
    0.000191749999999935 × 0.347950645975157 × 6371000     		du = 425.070166185962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21534533)-sin(-1.21541206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348013205433042-0.347950645975157)×R²
    abs(1.67932547-1.67913372)×6.25594578848587e-05×R²
    0.000191749999999935×6.25594578848587e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.25594578848587e-05×40589641000000     		ar = 180729.228606772m²