Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25138 / 25342
↖ ↑ ↗
← S 69.649446°
E 96.174317°		 ← 424.82 m → S 69.649446°
E 96.185302°		 →
↑
424.82 m
↓
↑
424.82 m
↓
S 69.653267°
E 96.174317°		 ← 424.74 m →
180 455 m²		 S 69.653267°
E 96.185302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767166137695312 y=0.773391723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767166137695312 × 215)
    floor (0.767166137695312 × 32768)
    floor (25138.5)     		tx = 25138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773391723632812 × 215)
    floor (0.773391723632812 × 32768)
    floor (25342.5)     		ty = 25342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25138 / 25342 ti = "15/25138/25342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25138/25342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25138 ÷ 215
    25138 ÷ 32768     		x = 0.76715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25342 ÷ 215
    25342 ÷ 32768     		y = 0.77337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67855848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71767498718585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67855848} λ = 1.67855848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71767498718585))-π/2
    2×atan(0.179482963362836)-π/2
    2×0.177592082742196-π/2
    0.355184165484393-1.57079632675     		φ = -1.21561216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67855848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.174317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21561216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.649446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25138 KachelY 25342 1.67855848 -1.21561216 96.174317 -69.649446
    Oben rechts KachelX + 1 25139 KachelY 25342 1.67875022 -1.21561216 96.185302 -69.649446
    Unten links KachelX 25138 KachelY + 1 25343 1.67855848 -1.21567884 96.174317 -69.653267
    Unten rechts KachelX + 1 25139 KachelY + 1 25343 1.67875022 -1.21567884 96.185302 -69.653267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21561216--1.21567884) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dl = 424.818279999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21561216--1.21567884) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dr = 424.818279999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.21561216) × R
    0.000191739999999996 × 0.347763042688718 × 6371000     		do = 424.818826664504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.21567884) × R
    0.000191739999999996 × 0.347700523917328 × 6371000     		du = 424.742455262583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21561216)-sin(-1.21567884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347763042688718-0.347700523917328)×R²
    abs(1.67875022-1.67855848)×6.25187713900188e-05×R²
    0.000191739999999996×6.25187713900188e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.25187713900188e-05×40589641000000     		ar = 180454.581338041m²