Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25138 / 25337
↖ ↑ ↗
← S 69.630335°
E 96.174317°		 ← 425.20 m → S 69.630335°
E 96.185302°		 →
↑
425.14 m
↓
↑
425.14 m
↓
S 69.634158°
E 96.174317°		 ← 425.12 m →
180 752 m²		 S 69.634158°
E 96.185302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767166137695312 y=0.773239135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767166137695312 × 215)
    floor (0.767166137695312 × 32768)
    floor (25138.5)     		tx = 25138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773239135742188 × 215)
    floor (0.773239135742188 × 32768)
    floor (25337.5)     		ty = 25337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25138 / 25337 ti = "15/25138/25337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25138/25337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25138 ÷ 215
    25138 ÷ 32768     		x = 0.76715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25337 ÷ 215
    25337 ÷ 32768     		y = 0.773223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67855848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.54644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71671624919345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67855848} λ = 1.67855848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71671624919345))-π/2
    2×atan(0.179655123013612)-π/2
    2×0.1777588645077-π/2
    0.355517729015401-1.57079632675     		φ = -1.21527860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67855848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.174317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21527860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.630335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25138 KachelY 25337 1.67855848 -1.21527860 96.174317 -69.630335
    Oben rechts KachelX + 1 25139 KachelY 25337 1.67875022 -1.21527860 96.185302 -69.630335
    Unten links KachelX 25138 KachelY + 1 25338 1.67855848 -1.21534533 96.174317 -69.634158
    Unten rechts KachelX + 1 25139 KachelY + 1 25338 1.67875022 -1.21534533 96.185302 -69.634158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21527860--1.21534533) × R
    6.67299999999038e-05 × 6371000     		dl = 425.136829999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21527860--1.21534533) × R
    6.67299999999038e-05 × 6371000     		dr = 425.136829999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.21527860) × R
    0.000191739999999996 × 0.348075763341261 × 6371000     		do = 425.200838564504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.21534533) × R
    0.000191739999999996 × 0.348013205433042 × 6371000     		du = 425.12441935399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21527860)-sin(-1.21534533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348075763341261-0.348013205433042)×R²
    abs(1.67875022-1.67855848)×6.25579082190741e-05×R²
    0.000191739999999996×6.25579082190741e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.25579082190741e-05×40589641000000     		ar = 180752.292377133m²