Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25138 / 25013
↖ ↑ ↗
← S 68.354647°
E 96.174317°		 ← 450.59 m → S 68.354647°
E 96.185302°		 →
↑
450.56 m
↓
↑
450.56 m
↓
S 68.358699°
E 96.174317°		 ← 450.51 m →
202 999 m²		 S 68.358699°
E 96.185302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767166137695312 y=0.763351440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767166137695312 × 215)
    floor (0.767166137695312 × 32768)
    floor (25138.5)     		tx = 25138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763351440429688 × 215)
    floor (0.763351440429688 × 32768)
    floor (25013.5)     		ty = 25013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25138 / 25013 ti = "15/25138/25013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25138/25013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25138 ÷ 215
    25138 ÷ 32768     		x = 0.76715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25013 ÷ 215
    25013 ÷ 32768     		y = 0.763336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67855848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.52667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65459002728586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67855848} λ = 1.67855848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65459002728586))-π/2
    2×atan(0.191170414295538)-π/2
    2×0.188891338121788-π/2
    0.377782676243576-1.57079632675     		φ = -1.19301365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67855848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.174317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19301365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.354647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25138 KachelY 25013 1.67855848 -1.19301365 96.174317 -68.354647
    Oben rechts KachelX + 1 25139 KachelY 25013 1.67875022 -1.19301365 96.185302 -68.354647
    Unten links KachelX 25138 KachelY + 1 25014 1.67855848 -1.19308437 96.174317 -68.358699
    Unten rechts KachelX + 1 25139 KachelY + 1 25014 1.67875022 -1.19308437 96.185302 -68.358699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19301365--1.19308437) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dl = 450.557120000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19301365--1.19308437) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dr = 450.557120000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.19301365) × R
    0.000191739999999996 × 0.368860409635082 × 6371000     		do = 450.590854084587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67855848-1.67875022) × cos(-1.19308437) × R
    0.000191739999999996 × 0.368794675547505 × 6371000     		du = 450.510554931058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19301365)-sin(-1.19308437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368860409635082-0.368794675547505)×R²
    abs(1.67875022-1.67855848)×6.57340875769852e-05×R²
    0.000191739999999996×6.57340875769852e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.57340875769852e-05×40589641000000     		ar = 202998.827921691m²