Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25137 / 24888
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E 96.163330°		 ← 460.75 m → S 67.842416°
E 96.174317°		 →
↑
460.69 m
↓
↑
460.69 m
↓
S 67.846560°
E 96.163330°		 ← 460.67 m →
212 242 m²		 S 67.846560°
E 96.174317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767135620117188 y=0.759536743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767135620117188 × 215)
    floor (0.767135620117188 × 32768)
    floor (25137.5)     		tx = 25137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759536743164062 × 215)
    floor (0.759536743164062 × 32768)
    floor (24888.5)     		ty = 24888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25137 / 24888 ti = "15/25137/24888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25137/24888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25137 ÷ 215
    25137 ÷ 32768     		x = 0.767120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24888 ÷ 215
    24888 ÷ 32768     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767120361328125 × 2 - 1) × π
    0.53424072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67836673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67836673} λ = 1.67836673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67836673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25137 KachelY 24888 1.67836673 -1.18407354 96.163330 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 25138 KachelY 24888 1.67855848 -1.18407354 96.174317 -67.842416
    Unten links KachelX 25137 KachelY + 1 24889 1.67836673 -1.18414585 96.163330 -67.846560
    Unten rechts KachelX + 1 25138 KachelY + 1 24889 1.67855848 -1.18414585 96.174317 -67.846560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18414585) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dl = 460.687009999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18414585) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dr = 460.687009999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67836673-1.67855848) × cos(-1.18407354) × R
    0.000191749999999935 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 460.747662522325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67836673-1.67855848) × cos(-1.18414585) × R
    0.000191749999999935 × 0.377088283834433 × 6371000     		du = 460.665848247127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18414585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377088283834433)×R²
    abs(1.67855848-1.67836673)×6.69708960295834e-05×R²
    0.000191749999999935×6.69708960295834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.69708960295834e-05×40589641000000     		ar = 212241.617717157m²