Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25133 / 24693
↖ ↑ ↗
← S 67.020299°
E 96.119385°		 ← 476.93 m → S 67.020299°
E 96.130371°		 →
↑
476.87 m
↓
↑
476.87 m
↓
S 67.024587°
E 96.119385°		 ← 476.85 m →
227 415 m²		 S 67.024587°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767013549804688 y=0.753585815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767013549804688 × 215)
    floor (0.767013549804688 × 32768)
    floor (25133.5)     		tx = 25133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753585815429688 × 215)
    floor (0.753585815429688 × 32768)
    floor (24693.5)     		ty = 24693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25133 / 24693 ti = "15/25133/24693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25133/24693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25133 ÷ 215
    25133 ÷ 32768     		x = 0.766998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24693 ÷ 215
    24693 ÷ 32768     		y = 0.753570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766998291015625 × 2 - 1) × π
    0.53399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67759974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.50714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59323079577219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67759974} λ = 1.67759974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59323079577219))-π/2
    2×atan(0.203267832876718)-π/2
    2×0.200535723147938-π/2
    0.401071446295876-1.57079632675     		φ = -1.16972488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67759974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16972488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.020299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25133 KachelY 24693 1.67759974 -1.16972488 96.119385 -67.020299
    Oben rechts KachelX + 1 25134 KachelY 24693 1.67779149 -1.16972488 96.130371 -67.020299
    Unten links KachelX 25133 KachelY + 1 24694 1.67759974 -1.16979973 96.119385 -67.024587
    Unten rechts KachelX + 1 25134 KachelY + 1 24694 1.67779149 -1.16979973 96.130371 -67.024587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16972488--1.16979973) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dl = 476.86935000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16972488--1.16979973) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dr = 476.86935000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67759974-1.67779149) × cos(-1.16972488) × R
    0.000191749999999935 × 0.390404986443996 × 6371000     		do = 476.934054835541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67759974-1.67779149) × cos(-1.16979973) × R
    0.000191749999999935 × 0.39033607520509 × 6371000     		du = 476.849870161328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16972488)-sin(-1.16979973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390404986443996-0.39033607520509)×R²
    abs(1.67779149-1.67759974)×6.89112389054558e-05×R²
    0.000191749999999935×6.89112389054558e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.89112389054558e-05×40589641000000     		ar = 227415.160282681m²