Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25130 / 25390
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.086426°		 ← 421.17 m → S 69.832048°
E 96.097412°		 →
↑
421.12 m
↓
↑
421.12 m
↓
S 69.835835°
E 96.086426°		 ← 421.09 m →
177 347 m²		 S 69.835835°
E 96.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766921997070312 y=0.774856567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766921997070312 × 215)
    floor (0.766921997070312 × 32768)
    floor (25130.5)     		tx = 25130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774856567382812 × 215)
    floor (0.774856567382812 × 32768)
    floor (25390.5)     		ty = 25390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25130 / 25390 ti = "15/25130/25390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25130/25390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25130 ÷ 215
    25130 ÷ 32768     		x = 0.76690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25390 ÷ 215
    25390 ÷ 32768     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    0.5338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67702450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67702450} λ = 1.67702450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67702450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25130 KachelY 25390 1.67702450 -1.21879916 96.086426 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 25131 KachelY 25390 1.67721624 -1.21879916 96.097412 -69.832048
    Unten links KachelX 25130 KachelY + 1 25391 1.67702450 -1.21886526 96.086426 -69.835835
    Unten rechts KachelX + 1 25131 KachelY + 1 25391 1.67721624 -1.21886526 96.097412 -69.835835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21886526) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dl = 421.123099999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21886526) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dr = 421.123099999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67702450-1.67721624) × cos(-1.21879916) × R
    0.000191739999999996 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 421.166515717971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67702450-1.67721624) × cos(-1.21886526) × R
    0.000191739999999996 × 0.344711158445847 × 6371000     		du = 421.090719522501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21886526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344711158445847)×R²
    abs(1.67721624-1.67702450)×6.20478987898854e-05×R²
    0.000191739999999996×6.20478987898854e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.20478987898854e-05×40589641000000     		ar = 177346.989015911m²