Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25130 / 24666
↖ ↑ ↗
← S 66.904216°
E 96.086426°		 ← 479.19 m → S 66.904216°
E 96.097412°		 →
↑
479.16 m
↓
↑
479.16 m
↓
S 66.908526°
E 96.086426°		 ← 479.10 m →
229 588 m²		 S 66.908526°
E 96.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766921997070312 y=0.752761840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766921997070312 × 215)
    floor (0.766921997070312 × 32768)
    floor (25130.5)     		tx = 25130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752761840820312 × 215)
    floor (0.752761840820312 × 32768)
    floor (24666.5)     		ty = 24666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25130 / 24666 ti = "15/25130/24666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25130/24666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25130 ÷ 215
    25130 ÷ 32768     		x = 0.76690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24666 ÷ 215
    24666 ÷ 32768     		y = 0.75274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    0.5338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67702450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.5054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58805361061322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67702450} λ = 1.67702450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58805361061322))-π/2
    2×atan(0.204322916910444)-π/2
    2×0.20154873416699-π/2
    0.403097468333979-1.57079632675     		φ = -1.16769886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67702450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16769886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.904216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25130 KachelY 24666 1.67702450 -1.16769886 96.086426 -66.904216
    Oben rechts KachelX + 1 25131 KachelY 24666 1.67721624 -1.16769886 96.097412 -66.904216
    Unten links KachelX 25130 KachelY + 1 24667 1.67702450 -1.16777407 96.086426 -66.908526
    Unten rechts KachelX + 1 25131 KachelY + 1 24667 1.67721624 -1.16777407 96.097412 -66.908526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16769886--1.16777407) × R
    7.52100000001032e-05 × 6371000     		dl = 479.162910000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16769886--1.16777407) × R
    7.52100000001032e-05 × 6371000     		dr = 479.162910000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67702450-1.67721624) × cos(-1.16769886) × R
    0.000191739999999996 × 0.392269425494818 × 6371000     		do = 479.186735274312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67702450-1.67721624) × cos(-1.16777407) × R
    0.000191739999999996 × 0.392200242439331 × 6371000     		du = 479.102222945946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16769886)-sin(-1.16777407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392269425494818-0.392200242439331)×R²
    abs(1.67721624-1.67702450)×6.91830554878092e-05×R²
    0.000191739999999996×6.91830554878092e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.91830554878092e-05×40589641000000     		ar = 229588.263028628m²