Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2513 / 4593
↖ ↑ ↗
← N 61.762729°
W124.782715°		 ← 1 155.94 m → N 61.762729°
W124.760742°		 →
↑
1 156.15 m
↓
↑
1 156.15 m
↓
N 61.752331°
W124.782715°		 ← 1 156.33 m →
1 336 664 m²		 N 61.752331°
W124.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153411865234375 y=0.280364990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153411865234375 × 214)
    floor (0.153411865234375 × 16384)
    floor (2513.5)     		tx = 2513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.280364990234375 × 214)
    floor (0.280364990234375 × 16384)
    floor (4593.5)     		ty = 4593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2513 / 4593 ti = "14/2513/4593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2513/4593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2513 ÷ 214
    2513 ÷ 16384     		x = 0.15338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4593 ÷ 214
    4593 ÷ 16384     		y = 0.28033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.6932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.17786922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28033447265625 × 2 - 1) × π
    0.4393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.38019921386066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17786922} λ = -2.17786922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38019921386066))-π/2
    2×atan(3.97569356187323)-π/2
    2×1.3243796499422-π/2
    2.64875929988441-1.57079632675     		φ = 1.07796297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17786922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07796297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.762729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2513 KachelY 4593 -2.17786922 1.07796297 -124.782715 61.762729
    Oben rechts KachelX + 1 2514 KachelY 4593 -2.17748573 1.07796297 -124.760742 61.762729
    Unten links KachelX 2513 KachelY + 1 4594 -2.17786922 1.07778150 -124.782715 61.752331
    Unten rechts KachelX + 1 2514 KachelY + 1 4594 -2.17748573 1.07778150 -124.760742 61.752331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07796297-1.07778150) × R
    0.000181470000000017 × 6371000     		dl = 1156.14537000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07796297-1.07778150) × R
    0.000181470000000017 × 6371000     		dr = 1156.14537000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17786922--2.17748573) × cos(1.07796297) × R
    0.000383489999999931 × 0.473123959556504 × 6371000     		do = 1155.9434554916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17786922--2.17748573) × cos(1.07778150) × R
    0.000383489999999931 × 0.473283826085429 × 6371000     		du = 1156.3340437595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07796297)-sin(1.07778150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473123959556504-0.473283826085429)×R²
    abs(-2.17748573--2.17786922)×0.000159866528925023×R²
    0.000383489999999931×0.000159866528925023×6371000²
    0.000383489999999931×0.000159866528925023×40589641000000     		ar = 1336664.46612434m²