Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2513 / 2002
↖ ↑ ↗
← N 67.305976°
W 69.565429°		 ← 1 885.26 m → N 67.305976°
W 69.521484°		 →
↑
1 885.88 m
↓
↑
1 885.88 m
↓
N 67.289015°
W 69.565429°		 ← 1 886.59 m →
3 556 626 m²		 N 67.289015°
W 69.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.30682373046875 y=0.24444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.30682373046875 × 213)
    floor (0.30682373046875 × 8192)
    floor (2513.5)     		tx = 2513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24444580078125 × 213)
    floor (0.24444580078125 × 8192)
    floor (2002.5)     		ty = 2002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2513 / 2002 ti = "13/2513/2002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2513/2002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2513 ÷ 213
    2513 ÷ 8192     		x = 0.3067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2002 ÷ 213
    2002 ÷ 8192     		y = 0.244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21414579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244384765625 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21414579} λ = -1.21414579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60607788487036))-π/2
    2×atan(4.98322805505926)-π/2
    2×1.37275360488998-π/2
    2.74550720977995-1.57079632675     		φ = 1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21414579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.565429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2513 KachelY 2002 -1.21414579 1.17471088 -69.565429 67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 2514 KachelY 2002 -1.21337880 1.17471088 -69.521484 67.305976
    Unten links KachelX 2513 KachelY + 1 2003 -1.21414579 1.17441487 -69.565429 67.289015
    Unten rechts KachelX + 1 2514 KachelY + 1 2003 -1.21337880 1.17441487 -69.521484 67.289015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17471088-1.17441487) × R
    0.000296009999999791 × 6371000     		dl = 1885.87970999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17471088-1.17441487) × R
    0.000296009999999791 × 6371000     		dr = 1885.87970999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21414579--1.21337880) × cos(1.17471088) × R
    0.000766989999999801 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 1885.25712393439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21414579--1.21337880) × cos(1.17441487) × R
    0.000766989999999801 × 0.386082901089869 × 6371000     		du = 1886.59150555889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17471088)-sin(1.17441487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.386082901089869)×R²
    abs(-1.21337880--1.21414579)×0.000273075505337228×R²
    0.000766989999999801×0.000273075505337228×6371000²
    0.000766989999999801×0.000273075505337228×40589641000000     		ar = 3556626.42574262m²