Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25129 / 24689
↖ ↑ ↗
← S 67.003136°
E 96.075440°		 ← 477.27 m → S 67.003136°
E 96.086426°		 →
↑
477.19 m
↓
↑
477.19 m
↓
S 67.007428°
E 96.075440°		 ← 477.19 m →
227 728 m²		 S 67.007428°
E 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766891479492188 y=0.753463745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766891479492188 × 215)
    floor (0.766891479492188 × 32768)
    floor (25129.5)     		tx = 25129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753463745117188 × 215)
    floor (0.753463745117188 × 32768)
    floor (24689.5)     		ty = 24689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25129 / 24689 ti = "15/25129/24689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25129/24689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25129 ÷ 215
    25129 ÷ 32768     		x = 0.766876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24689 ÷ 215
    24689 ÷ 32768     		y = 0.753448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766876220703125 × 2 - 1) × π
    0.53375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67683275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.50689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59246380537827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67683275} λ = 1.67683275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59246380537827))-π/2
    2×atan(0.203423797155834)-π/2
    2×0.200685494455066-π/2
    0.401370988910132-1.57079632675     		φ = -1.16942534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67683275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.075440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16942534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.003136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25129 KachelY 24689 1.67683275 -1.16942534 96.075440 -67.003136
    Oben rechts KachelX + 1 25130 KachelY 24689 1.67702450 -1.16942534 96.086426 -67.003136
    Unten links KachelX 25129 KachelY + 1 24690 1.67683275 -1.16950024 96.075440 -67.007428
    Unten rechts KachelX + 1 25130 KachelY + 1 24690 1.67702450 -1.16950024 96.086426 -67.007428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16942534--1.16950024) × R
    7.48999999999889e-05 × 6371000     		dl = 477.187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16942534--1.16950024) × R
    7.48999999999889e-05 × 6371000     		dr = 477.187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67683275-1.67702450) × cos(-1.16942534) × R
    0.000191749999999935 × 0.390680738396907 × 6371000     		do = 477.270924244481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67683275-1.67702450) × cos(-1.16950024) × R
    0.000191749999999935 × 0.390611789885647 × 6371000     		du = 477.186694036898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16942534)-sin(-1.16950024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390680738396907-0.390611789885647)×R²
    abs(1.67702450-1.67683275)×6.89485112591037e-05×R²
    0.000191749999999935×6.89485112591037e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.89485112591037e-05×40589641000000     		ar = 227727.813359522m²