Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25127 / 25019
↖ ↑ ↗
← S 68.378948°
E 96.053467°		 ← 450.13 m → S 68.378948°
E 96.064453°		 →
↑
450.11 m
↓
↑
450.11 m
↓
S 68.382996°
E 96.053467°		 ← 450.05 m →
202 592 m²		 S 68.382996°
E 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766830444335938 y=0.763534545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766830444335938 × 215)
    floor (0.766830444335938 × 32768)
    floor (25127.5)     		tx = 25127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763534545898438 × 215)
    floor (0.763534545898438 × 32768)
    floor (25019.5)     		ty = 25019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25127 / 25019 ti = "15/25127/25019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25127/25019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25127 ÷ 215
    25127 ÷ 32768     		x = 0.766815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25019 ÷ 215
    25019 ÷ 32768     		y = 0.763519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766815185546875 × 2 - 1) × π
    0.53363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67644925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.52703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65574051287674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67644925} λ = 1.67644925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65574051287674))-π/2
    2×atan(0.190950601958197)-π/2
    2×0.188679267245426-π/2
    0.377358534490853-1.57079632675     		φ = -1.19343779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67644925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19343779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.378948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25127 KachelY 25019 1.67644925 -1.19343779 96.053467 -68.378948
    Oben rechts KachelX + 1 25128 KachelY 25019 1.67664100 -1.19343779 96.064453 -68.378948
    Unten links KachelX 25127 KachelY + 1 25020 1.67644925 -1.19350844 96.053467 -68.382996
    Unten rechts KachelX + 1 25128 KachelY + 1 25020 1.67664100 -1.19350844 96.064453 -68.382996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19343779--1.19350844) × R
    7.06500000000609e-05 × 6371000     		dl = 450.111150000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19343779--1.19350844) × R
    7.06500000000609e-05 × 6371000     		dr = 450.111150000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67644925-1.67664100) × cos(-1.19343779) × R
    0.000191750000000157 × 0.368466144784718 × 6371000     		do = 450.132704765563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67644925-1.67664100) × cos(-1.19350844) × R
    0.000191750000000157 × 0.36840046471671 × 6371000     		du = 450.052467416541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19343779)-sin(-1.19350844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368466144784718-0.36840046471671)×R²
    abs(1.67664100-1.67644925)×6.56800680081671e-05×R²
    0.000191750000000157×6.56800680081671e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.56800680081671e-05×40589641000000     		ar = 202591.691616383m²