Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25127 / 24555
↖ ↑ ↗
← S 66.421143°
E 96.053467°		 ← 488.67 m → S 66.421143°
E 96.064453°		 →
↑
488.59 m
↓
↑
488.59 m
↓
S 66.425537°
E 96.053467°		 ← 488.58 m →
238 739 m²		 S 66.425537°
E 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766830444335938 y=0.749374389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766830444335938 × 215)
    floor (0.766830444335938 × 32768)
    floor (25127.5)     		tx = 25127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749374389648438 × 215)
    floor (0.749374389648438 × 32768)
    floor (24555.5)     		ty = 24555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25127 / 24555 ti = "15/25127/24555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25127/24555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25127 ÷ 215
    25127 ÷ 32768     		x = 0.766815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24555 ÷ 215
    24555 ÷ 32768     		y = 0.749359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766815185546875 × 2 - 1) × π
    0.53363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67644925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.49871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56676962718192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67644925} λ = 1.67644925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56676962718192))-π/2
    2×atan(0.208718332536684)-π/2
    2×0.205764345072198-π/2
    0.411528690144397-1.57079632675     		φ = -1.15926764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67644925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15926764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.421143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25127 KachelY 24555 1.67644925 -1.15926764 96.053467 -66.421143
    Oben rechts KachelX + 1 25128 KachelY 24555 1.67664100 -1.15926764 96.064453 -66.421143
    Unten links KachelX 25127 KachelY + 1 24556 1.67644925 -1.15934433 96.053467 -66.425537
    Unten rechts KachelX + 1 25128 KachelY + 1 24556 1.67664100 -1.15934433 96.064453 -66.425537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15926764--1.15934433) × R
    7.66899999999904e-05 × 6371000     		dl = 488.591989999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15926764--1.15934433) × R
    7.66899999999904e-05 × 6371000     		dr = 488.591989999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67644925-1.67664100) × cos(-1.15926764) × R
    0.000191750000000157 × 0.400010852177886 × 6371000     		do = 488.668957446854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67644925-1.67664100) × cos(-1.15934433) × R
    0.000191750000000157 × 0.399940563818873 × 6371000     		du = 488.583090428666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15926764)-sin(-1.15934433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400010852177886-0.399940563818873)×R²
    abs(1.67664100-1.67644925)×7.02883590124048e-05×R²
    0.000191750000000157×7.02883590124048e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.02883590124048e-05×40589641000000     		ar = 238738.761518952m²