Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25126 / 24663
↖ ↑ ↗
← S 66.891284°
E 96.042481°		 ← 479.44 m → S 66.891284°
E 96.053467°		 →
↑
479.42 m
↓
↑
479.42 m
↓
S 66.895596°
E 96.042481°		 ← 479.36 m →
229 832 m²		 S 66.895596°
E 96.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766799926757812 y=0.752670288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766799926757812 × 215)
    floor (0.766799926757812 × 32768)
    floor (25126.5)     		tx = 25126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752670288085938 × 215)
    floor (0.752670288085938 × 32768)
    floor (24663.5)     		ty = 24663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25126 / 24663 ti = "15/25126/24663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25126/24663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25126 ÷ 215
    25126 ÷ 32768     		x = 0.76678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24663 ÷ 215
    24663 ÷ 32768     		y = 0.752655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76678466796875 × 2 - 1) × π
    0.5335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67625751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.50531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58747836781778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67625751} λ = 1.67625751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58747836781778))-π/2
    2×atan(0.204440486008487)-π/2
    2×0.201661589102127-π/2
    0.403323178204254-1.57079632675     		φ = -1.16747315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67625751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16747315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.891284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25126 KachelY 24663 1.67625751 -1.16747315 96.042481 -66.891284
    Oben rechts KachelX + 1 25127 KachelY 24663 1.67644925 -1.16747315 96.053467 -66.891284
    Unten links KachelX 25126 KachelY + 1 24664 1.67625751 -1.16754840 96.042481 -66.895596
    Unten rechts KachelX + 1 25127 KachelY + 1 24664 1.67644925 -1.16754840 96.053467 -66.895596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16747315--1.16754840) × R
    7.52500000000822e-05 × 6371000     		dl = 479.417750000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16747315--1.16754840) × R
    7.52500000000822e-05 × 6371000     		dr = 479.417750000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67625751-1.67644925) × cos(-1.16747315) × R
    0.000191739999999996 × 0.392477034927326 × 6371000     		do = 479.440345878937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67625751-1.67644925) × cos(-1.16754840) × R
    0.000191739999999996 × 0.392407821740388 × 6371000     		du = 479.355796742728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16747315)-sin(-1.16754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392477034927326-0.392407821740388)×R²
    abs(1.67644925-1.67625751)×6.9213186937811e-05×R²
    0.000191739999999996×6.9213186937811e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.9213186937811e-05×40589641000000     		ar = 229831.944811642m²