Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25124 / 24664
↖ ↑ ↗
← S 66.895596°
E 96.020508°		 ← 479.38 m → S 66.895596°
E 96.031494°		 →
↑
479.35 m
↓
↑
479.35 m
↓
S 66.899907°
E 96.020508°		 ← 479.30 m →
229 773 m²		 S 66.899907°
E 96.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766738891601562 y=0.752700805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766738891601562 × 215)
    floor (0.766738891601562 × 32768)
    floor (25124.5)     		tx = 25124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752700805664062 × 215)
    floor (0.752700805664062 × 32768)
    floor (24664.5)     		ty = 24664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25124 / 24664 ti = "15/25124/24664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25124/24664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25124 ÷ 215
    25124 ÷ 32768     		x = 0.7667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24664 ÷ 215
    24664 ÷ 32768     		y = 0.752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67587401} λ = 1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58767011541626))-π/2
    2×atan(0.204401288794369)-π/2
    2×0.201623964155491-π/2
    0.403247928310981-1.57079632675     		φ = -1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25124 KachelY 24664 1.67587401 -1.16754840 96.020508 -66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 25125 KachelY 24664 1.67606576 -1.16754840 96.031494 -66.895596
    Unten links KachelX 25124 KachelY + 1 24665 1.67587401 -1.16762364 96.020508 -66.899907
    Unten rechts KachelX + 1 25125 KachelY + 1 24665 1.67606576 -1.16762364 96.031494 -66.899907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16754840--1.16762364) × R
    7.52399999999209e-05 × 6371000     		dl = 479.354039999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16754840--1.16762364) × R
    7.52399999999209e-05 × 6371000     		dr = 479.354039999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67587401-1.67606576) × cos(-1.16754840) × R
    0.000191749999999935 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 479.380797044899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67587401-1.67606576) × cos(-1.16762364) × R
    0.000191749999999935 × 0.392338615529625 × 6371000     		du = 479.296252021488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16754840)-sin(-1.16762364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392338615529625)×R²
    abs(1.67606576-1.67587401)×6.92062107628399e-05×R²
    0.000191749999999935×6.92062107628399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.92062107628399e-05×40589641000000     		ar = 229772.858370456m²