Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25123 / 28963
↖ ↑ ↗
← N 20.452750°
W 41.995240°		 ← 572.34 m → N 20.452750°
W 41.989746°		 →
↑
572.31 m
↓
↑
572.31 m
↓
N 20.447603°
W 41.995240°		 ← 572.36 m →
327 562 m²		 N 20.447603°
W 41.989746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383354187011719 y=0.441947937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383354187011719 × 216)
    floor (0.383354187011719 × 65536)
    floor (25123.5)     		tx = 25123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441947937011719 × 216)
    floor (0.441947937011719 × 65536)
    floor (28963.5)     		ty = 28963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25123 / 28963 ti = "16/25123/28963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25123/28963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25123 ÷ 216
    25123 ÷ 65536     		x = 0.383346557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28963 ÷ 216
    28963 ÷ 65536     		y = 0.441940307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.233306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73295520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441940307617188 × 2 - 1) × π
    0.116119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.364799806108627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73295520} λ = -0.73295520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364799806108627))-π/2
    2×atan(1.44022565490859)-π/2
    2×0.963882072123267-π/2
    1.92776414424653-1.57079632675     		φ = 0.35696782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73295520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.995240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35696782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.452750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25123 KachelY 28963 -0.73295520 0.35696782 -41.995240 20.452750
    Oben rechts KachelX + 1 25124 KachelY 28963 -0.73285932 0.35696782 -41.989746 20.452750
    Unten links KachelX 25123 KachelY + 1 28964 -0.73295520 0.35687799 -41.995240 20.447603
    Unten rechts KachelX + 1 25124 KachelY + 1 28964 -0.73285932 0.35687799 -41.989746 20.447603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35696782-0.35687799) × R
    8.9830000000013e-05 × 6371000     		dl = 572.306930000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35696782-0.35687799) × R
    8.9830000000013e-05 × 6371000     		dr = 572.306930000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73295520--0.73285932) × cos(0.35696782) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.936960678557317 × 6371000     		do = 572.343817198829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73295520--0.73285932) × cos(0.35687799) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.936992064505939 × 6371000     		du = 572.362989351996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35696782)-sin(0.35687799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936960678557317-0.936992064505939)×R²
    abs(-0.73285932--0.73295520)×3.13859486223977e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13859486223977e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13859486223977e-05×40589641000000     		ar = 327561.81932398m²