Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25122 / 29090
↖ ↑ ↗
← N 19.797717°
W 42.000732°		 ← 574.69 m → N 19.797717°
W 41.995240°		 →
↑
574.66 m
↓
↑
574.66 m
↓
N 19.792549°
W 42.000732°		 ← 574.71 m →
330 257 m²		 N 19.792549°
W 41.995240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383338928222656 y=0.443885803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383338928222656 × 216)
    floor (0.383338928222656 × 65536)
    floor (25122.5)     		tx = 25122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443885803222656 × 216)
    floor (0.443885803222656 × 65536)
    floor (29090.5)     		ty = 29090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25122 / 29090 ti = "16/25122/29090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25122/29090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25122 ÷ 216
    25122 ÷ 65536     		x = 0.383331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29090 ÷ 216
    29090 ÷ 65536     		y = 0.443878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.23333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73305107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    0.11224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.352623833605133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73305107} λ = -0.73305107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352623833605133))-π/2
    2×atan(1.42279583477755)-π/2
    2×0.958165840688941-π/2
    1.91633168137788-1.57079632675     		φ = 0.34553535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73305107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.000732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34553535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.797717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25122 KachelY 29090 -0.73305107 0.34553535 -42.000732 19.797717
    Oben rechts KachelX + 1 25123 KachelY 29090 -0.73295520 0.34553535 -41.995240 19.797717
    Unten links KachelX 25122 KachelY + 1 29091 -0.73305107 0.34544515 -42.000732 19.792549
    Unten rechts KachelX + 1 25123 KachelY + 1 29091 -0.73295520 0.34544515 -41.995240 19.792549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34553535-0.34544515) × R
    9.02000000000402e-05 × 6371000     		dl = 574.664200000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34553535-0.34544515) × R
    9.02000000000402e-05 × 6371000     		dr = 574.664200000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73305107--0.73295520) × cos(0.34553535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940894264168065 × 6371000     		do = 574.686709416991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73305107--0.73295520) × cos(0.34544515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940924811119549 × 6371000     		du = 574.705367121368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34553535)-sin(0.34544515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940894264168065-0.940924811119549)×R²
    abs(-0.73295520--0.73305107)×3.05469514839674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05469514839674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05469514839674e-05×40589641000000     		ar = 330257.239299258m²