Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25122 / 24347
↖ ↑ ↗
← S 65.490184°
E 95.998535°		 ← 506.77 m → S 65.490184°
E 96.009521°		 →
↑
506.75 m
↓
↑
506.75 m
↓
S 65.494741°
E 95.998535°		 ← 506.68 m →
256 783 m²		 S 65.494741°
E 96.009521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766677856445312 y=0.743026733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766677856445312 × 215)
    floor (0.766677856445312 × 32768)
    floor (25122.5)     		tx = 25122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743026733398438 × 215)
    floor (0.743026733398438 × 32768)
    floor (24347.5)     		ty = 24347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25122 / 24347 ti = "15/25122/24347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25122/24347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25122 ÷ 215
    25122 ÷ 32768     		x = 0.76666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24347 ÷ 215
    24347 ÷ 32768     		y = 0.743011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    0.5333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67549052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.48602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52688612669803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67549052} λ = 1.67549052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52688612669803))-π/2
    2×atan(0.217210982827191)-π/2
    2×0.213888492852291-π/2
    0.427776985704582-1.57079632675     		φ = -1.14301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67549052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.490184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25122 KachelY 24347 1.67549052 -1.14301934 95.998535 -65.490184
    Oben rechts KachelX + 1 25123 KachelY 24347 1.67568226 -1.14301934 96.009521 -65.490184
    Unten links KachelX 25122 KachelY + 1 24348 1.67549052 -1.14309888 95.998535 -65.494741
    Unten rechts KachelX + 1 25123 KachelY + 1 24348 1.67568226 -1.14309888 96.009521 -65.494741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14301934--1.14309888) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dl = 506.74933999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14301934--1.14309888) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dr = 506.74933999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67549052-1.67568226) × cos(-1.14301934) × R
    0.000191739999999996 × 0.414849131185881 × 6371000     		do = 506.769551446913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67549052-1.67568226) × cos(-1.14309888) × R
    0.000191739999999996 × 0.41477675720618 × 6371000     		du = 506.681141163577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14301934)-sin(-1.14309888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414849131185881-0.41477675720618)×R²
    abs(1.67568226-1.67549052)×7.23739797009459e-05×R²
    0.000191739999999996×7.23739797009459e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.23739797009459e-05×40589641000000     		ar = 256782.734936837m²