Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25120 / 29025
↖ ↑ ↗
← N 20.133313°
W 42.011719°		 ← 573.52 m → N 20.133313°
W 42.006225°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
N 20.128155°
W 42.011719°		 ← 573.54 m →
328 932 m²		 N 20.128155°
W 42.006225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383308410644531 y=0.442893981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383308410644531 × 216)
    floor (0.383308410644531 × 65536)
    floor (25120.5)     		tx = 25120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442893981933594 × 216)
    floor (0.442893981933594 × 65536)
    floor (29025.5)     		ty = 29025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25120 / 29025 ti = "16/25120/29025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25120/29025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25120 ÷ 216
    25120 ÷ 65536     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29025 ÷ 216
    29025 ÷ 65536     		y = 0.442886352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442886352539062 × 2 - 1) × π
    0.114227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35885563055574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35885563055574))-π/2
    2×atan(1.43169009434764)-π/2
    2×0.961094463088029-π/2
    1.92218892617606-1.57079632675     		φ = 0.35139260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35139260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.133313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25120 KachelY 29025 -0.73324282 0.35139260 -42.011719 20.133313
    Oben rechts KachelX + 1 25121 KachelY 29025 -0.73314694 0.35139260 -42.006225 20.133313
    Unten links KachelX 25120 KachelY + 1 29026 -0.73324282 0.35130258 -42.011719 20.128155
    Unten rechts KachelX + 1 25121 KachelY + 1 29026 -0.73314694 0.35130258 -42.006225 20.128155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35139260-0.35130258) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dl = 573.517420000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35139260-0.35130258) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dr = 573.517420000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73314694) × cos(0.35139260) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		do = 573.524962111443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73314694) × cos(0.35130258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938925264224038 × 6371000     		du = 573.543887260269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35139260)-sin(0.35130258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938894282636131-0.938925264224038)×R²
    abs(-0.73314694--0.73324282)×3.09815879068198e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09815879068198e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09815879068198e-05×40589641000000     		ar = 328931.983749318m²