Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2512 / 4592
↖ ↑ ↗
← N 61.773123°
W124.804688°		 ← 1 155.58 m → N 61.773123°
W124.782715°		 →
↑
1 155.76 m
↓
↑
1 155.76 m
↓
N 61.762729°
W124.804688°		 ← 1 155.97 m →
1 335 806 m²		 N 61.762729°
W124.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153350830078125 y=0.280303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153350830078125 × 214)
    floor (0.153350830078125 × 16384)
    floor (2512.5)     		tx = 2512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.280303955078125 × 214)
    floor (0.280303955078125 × 16384)
    floor (4592.5)     		ty = 4592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2512 / 4592 ti = "14/2512/4592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2512/4592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2512 ÷ 214
    2512 ÷ 16384     		x = 0.1533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4592 ÷ 214
    4592 ÷ 16384     		y = 0.2802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    -0.693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17825272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2802734375 × 2 - 1) × π
    0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17825272} λ = -2.17825272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38058270905762))-π/2
    2×atan(3.97721851364594)-π/2
    2×1.32447035500065-π/2
    2.6489407100013-1.57079632675     		φ = 1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17825272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2512 KachelY 4592 -2.17825272 1.07814438 -124.804688 61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 2513 KachelY 4592 -2.17786922 1.07814438 -124.782715 61.773123
    Unten links KachelX 2512 KachelY + 1 4593 -2.17825272 1.07796297 -124.804688 61.762729
    Unten rechts KachelX + 1 2513 KachelY + 1 4593 -2.17786922 1.07796297 -124.782715 61.762729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07814438-1.07796297) × R
    0.000181409999999937 × 6371000     		dl = 1155.7631099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07814438-1.07796297) × R
    0.000181409999999937 × 6371000     		dr = 1155.7631099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17825272--2.17786922) × cos(1.07814438) × R
    0.000383500000000314 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 1155.58309086313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17825272--2.17786922) × cos(1.07796297) × R
    0.000383500000000314 × 0.473123959556504 × 6371000     		du = 1155.97359822022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07814438)-sin(1.07796297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.473123959556504)×R²
    abs(-2.17786922--2.17825272)×0.00015982924463892×R²
    0.000383500000000314×0.00015982924463892×6371000²
    0.000383500000000314×0.00015982924463892×40589641000000     		ar = 1335805.9776208m²