Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2512 / 2001
↖ ↑ ↗
← N 67.322924°
W 69.609375°		 ← 1 883.92 m → N 67.322924°
W 69.565429°		 →
↑
1 884.61 m
↓
↑
1 884.61 m
↓
N 67.305976°
W 69.609375°		 ← 1 885.26 m →
3 551 709 m²		 N 67.305976°
W 69.565429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.30670166015625 y=0.24432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.30670166015625 × 213)
    floor (0.30670166015625 × 8192)
    floor (2512.5)     		tx = 2512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24432373046875 × 213)
    floor (0.24432373046875 × 8192)
    floor (2001.5)     		ty = 2001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2512 / 2001 ti = "13/2512/2001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2512/2001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2512 ÷ 213
    2512 ÷ 8192     		x = 0.306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2001 ÷ 213
    2001 ÷ 8192     		y = 0.2442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306640625 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21491278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2442626953125 × 2 - 1) × π
    0.511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21491278} λ = -1.21491278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60684487526428))-π/2
    2×atan(4.98705160923542)-π/2
    2×1.37290150876661-π/2
    2.74580301753321-1.57079632675     		φ = 1.17500669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21491278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17500669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.322924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2512 KachelY 2001 -1.21491278 1.17500669 -69.609375 67.322924
    Oben rechts KachelX + 1 2513 KachelY 2001 -1.21414579 1.17500669 -69.565429 67.322924
    Unten links KachelX 2512 KachelY + 1 2002 -1.21491278 1.17471088 -69.609375 67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 2513 KachelY + 1 2002 -1.21414579 1.17471088 -69.565429 67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17500669-1.17471088) × R
    0.000295810000000118 × 6371000     		dl = 1884.60551000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17500669-1.17471088) × R
    0.000295810000000118 × 6371000     		dr = 1884.60551000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21491278--1.21414579) × cos(1.17500669) × R
    0.000766990000000023 × 0.385536900812288 × 6371000     		do = 1883.9234788667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21491278--1.21414579) × cos(1.17471088) × R
    0.000766990000000023 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 1885.25712393494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17500669)-sin(1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385536900812288-0.385809825584531)×R²
    abs(-1.21414579--1.21491278)×0.000272924772243666×R²
    0.000766990000000023×0.000272924772243666×6371000²
    0.000766990000000023×0.000272924772243666×40589641000000     		ar = 3551709.29201312m²