Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25119 / 29030
↖ ↑ ↗
← N 20.107524°
W 42.017212°		 ← 573.56 m → N 20.107524°
W 42.011719°		 →
↑
573.64 m
↓
↑
573.64 m
↓
N 20.102365°
W 42.017212°		 ← 573.58 m →
329 025 m²		 N 20.102365°
W 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383293151855469 y=0.442970275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383293151855469 × 216)
    floor (0.383293151855469 × 65536)
    floor (25119.5)     		tx = 25119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442970275878906 × 216)
    floor (0.442970275878906 × 65536)
    floor (29030.5)     		ty = 29030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25119 / 29030 ti = "16/25119/29030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25119/29030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25119 ÷ 216
    25119 ÷ 65536     		x = 0.383285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29030 ÷ 216
    29030 ÷ 65536     		y = 0.442962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.233428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73333869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442962646484375 × 2 - 1) × π
    0.11407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35837626155954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73333869} λ = -0.73333869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35837626155954))-π/2
    2×atan(1.43100395097531)-π/2
    2×0.960869406123815-π/2
    1.92173881224763-1.57079632675     		φ = 0.35094249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73333869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.017212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35094249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.107524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25119 KachelY 29030 -0.73333869 0.35094249 -42.017212 20.107524
    Oben rechts KachelX + 1 25120 KachelY 29030 -0.73324282 0.35094249 -42.011719 20.107524
    Unten links KachelX 25119 KachelY + 1 29031 -0.73333869 0.35085245 -42.017212 20.102365
    Unten rechts KachelX + 1 25120 KachelY + 1 29031 -0.73324282 0.35085245 -42.011719 20.102365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35094249-0.35085245) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dl = 573.644840000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35094249-0.35085245) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dr = 573.644840000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73333869--0.73324282) × cos(0.35094249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939049117924235 × 6371000     		do = 573.559716657398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73333869--0.73324282) × cos(0.35085245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93908006833938 × 6371000     		du = 573.578620792445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35094249)-sin(0.35085245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939049117924235-0.93908006833938)×R²
    abs(-0.73324282--0.73333869)×3.09504151455586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09504151455586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09504151455586e-05×40589641000000     		ar = 329024.994244383m²