Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25118 / 25505
↖ ↑ ↗
← S 70.263163°
E 95.954590°		 ← 412.53 m → S 70.263163°
E 95.965576°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
S 70.266872°
E 95.954590°		 ← 412.45 m →
170 135 m²		 S 70.266872°
E 95.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766555786132812 y=0.778366088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766555786132812 × 215)
    floor (0.766555786132812 × 32768)
    floor (25118.5)     		tx = 25118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778366088867188 × 215)
    floor (0.778366088867188 × 32768)
    floor (25505.5)     		ty = 25505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25118 / 25505 ti = "15/25118/25505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25118/25505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25118 ÷ 215
    25118 ÷ 32768     		x = 0.76654052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25505 ÷ 215
    25505 ÷ 32768     		y = 0.778350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76654052734375 × 2 - 1) × π
    0.5330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67472353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.55670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74892984573813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67472353} λ = 1.67472353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74892984573813))-π/2
    2×atan(0.173960007917715)-π/2
    2×0.172236399828429-π/2
    0.344472799656859-1.57079632675     		φ = -1.22632353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67472353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.954590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22632353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.263163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25118 KachelY 25505 1.67472353 -1.22632353 95.954590 -70.263163
    Oben rechts KachelX + 1 25119 KachelY 25505 1.67491527 -1.22632353 95.965576 -70.263163
    Unten links KachelX 25118 KachelY + 1 25506 1.67472353 -1.22638827 95.954590 -70.266872
    Unten rechts KachelX + 1 25119 KachelY + 1 25506 1.67491527 -1.22638827 95.965576 -70.266872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22632353--1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22632353--1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67472353-1.67491527) × cos(-1.22632353) × R
    0.000191739999999996 × 0.337700492276181 × 6371000     		do = 412.526661210532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67472353-1.67491527) × cos(-1.22638827) × R
    0.000191739999999996 × 0.337639554809156 × 6371000     		du = 412.452221491345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22632353)-sin(-1.22638827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337700492276181-0.337639554809156)×R²
    abs(1.67491527-1.67472353)×6.09374670249574e-05×R²
    0.000191739999999996×6.09374670249574e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.09374670249574e-05×40589641000000     		ar = 170134.792804489m²