Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25116 / 24991
↖ ↑ ↗
← S 68.265319°
E 95.932617°		 ← 452.38 m → S 68.265319°
E 95.943604°		 →
↑
452.34 m
↓
↑
452.34 m
↓
S 68.269387°
E 95.932617°		 ← 452.30 m →
204 614 m²		 S 68.269387°
E 95.943604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766494750976562 y=0.762680053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766494750976562 × 215)
    floor (0.766494750976562 × 32768)
    floor (25116.5)     		tx = 25116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762680053710938 × 215)
    floor (0.762680053710938 × 32768)
    floor (24991.5)     		ty = 24991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25116 / 24991 ti = "15/25116/24991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25116/24991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25116 ÷ 215
    25116 ÷ 32768     		x = 0.7664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24991 ÷ 215
    24991 ÷ 32768     		y = 0.762664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    0.532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67434003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.52532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65037158011929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67434003} λ = 1.67434003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65037158011929))-π/2
    2×atan(0.191978559949493)-π/2
    2×0.189670874155636-π/2
    0.379341748311273-1.57079632675     		φ = -1.19145458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67434003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19145458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.265319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25116 KachelY 24991 1.67434003 -1.19145458 95.932617 -68.265319
    Oben rechts KachelX + 1 25117 KachelY 24991 1.67453178 -1.19145458 95.943604 -68.265319
    Unten links KachelX 25116 KachelY + 1 24992 1.67434003 -1.19152558 95.932617 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 25117 KachelY + 1 24992 1.67453178 -1.19152558 95.943604 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19145458--1.19152558) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dl = 452.340999999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19145458--1.19152558) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dr = 452.340999999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67434003-1.67453178) × cos(-1.19145458) × R
    0.000191749999999935 × 0.370309092624881 × 6371000     		do = 452.384122182287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67434003-1.67453178) × cos(-1.19152558) × R
    0.000191749999999935 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 452.30355086706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19145458)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370309092624881-0.370243139181402)×R²
    abs(1.67453178-1.67434003)×6.59534434792608e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59534434792608e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59534434792608e-05×40589641000000     		ar = 204613.663442959m²