Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25116 / 24324
↖ ↑ ↗
← S 65.385147°
E 95.932617°		 ← 508.83 m → S 65.385147°
E 95.943604°		 →
↑
508.79 m
↓
↑
508.79 m
↓
S 65.389723°
E 95.932617°		 ← 508.74 m →
258 866 m²		 S 65.389723°
E 95.943604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766494750976562 y=0.742324829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766494750976562 × 215)
    floor (0.766494750976562 × 32768)
    floor (25116.5)     		tx = 25116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742324829101562 × 215)
    floor (0.742324829101562 × 32768)
    floor (24324.5)     		ty = 24324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25116 / 24324 ti = "15/25116/24324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25116/24324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25116 ÷ 215
    25116 ÷ 32768     		x = 0.7664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24324 ÷ 215
    24324 ÷ 32768     		y = 0.7423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    0.532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67434003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67434003} λ = 1.67434003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52247593193298))-π/2
    2×atan(0.218171041032322)-π/2
    2×0.214805112944921-π/2
    0.429610225889843-1.57079632675     		φ = -1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67434003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25116 KachelY 24324 1.67434003 -1.14118610 95.932617 -65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 25117 KachelY 24324 1.67453178 -1.14118610 95.943604 -65.385147
    Unten links KachelX 25116 KachelY + 1 24325 1.67434003 -1.14126596 95.932617 -65.389723
    Unten rechts KachelX + 1 25117 KachelY + 1 24325 1.67453178 -1.14126596 95.943604 -65.389723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14118610--1.14126596) × R
    7.98599999998206e-05 × 6371000     		dl = 508.788059998857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14118610--1.14126596) × R
    7.98599999998206e-05 × 6371000     		dr = 508.788059998857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67434003-1.67453178) × cos(-1.14118610) × R
    0.000191749999999935 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 508.832880579819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67434003-1.67453178) × cos(-1.14126596) × R
    0.000191749999999935 × 0.416443875975012 × 6371000     		du = 508.744184313034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14118610)-sin(-1.14126596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416443875975012)×R²
    abs(1.67453178-1.67434003)×7.26043034267598e-05×R²
    0.000191749999999935×7.26043034267598e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.26043034267598e-05×40589641000000     		ar = 258865.5305102m²