Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25115 / 24357
↖ ↑ ↗
← S 65.535721°
E 95.921631°		 ← 505.91 m → S 65.535721°
E 95.932617°		 →
↑
505.86 m
↓
↑
505.86 m
↓
S 65.540270°
E 95.921631°		 ← 505.82 m →
255 897 m²		 S 65.540270°
E 95.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766464233398438 y=0.743331909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766464233398438 × 215)
    floor (0.766464233398438 × 32768)
    floor (25115.5)     		tx = 25115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743331909179688 × 215)
    floor (0.743331909179688 × 32768)
    floor (24357.5)     		ty = 24357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25115 / 24357 ti = "15/25115/24357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25115/24357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25115 ÷ 215
    25115 ÷ 32768     		x = 0.766448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24357 ÷ 215
    24357 ÷ 32768     		y = 0.743316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766448974609375 × 2 - 1) × π
    0.53289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67414828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.48663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52880360268283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67414828} λ = 1.67414828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52880360268283))-π/2
    2×atan(0.216794885040231)-π/2
    2×0.213491108029937-π/2
    0.426982216059875-1.57079632675     		φ = -1.14381411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67414828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14381411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.535721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25115 KachelY 24357 1.67414828 -1.14381411 95.921631 -65.535721
    Oben rechts KachelX + 1 25116 KachelY 24357 1.67434003 -1.14381411 95.932617 -65.535721
    Unten links KachelX 25115 KachelY + 1 24358 1.67414828 -1.14389351 95.921631 -65.540270
    Unten rechts KachelX + 1 25116 KachelY + 1 24358 1.67434003 -1.14389351 95.932617 -65.540270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14381411--1.14389351) × R
    7.93999999999517e-05 × 6371000     		dl = 505.857399999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14381411--1.14389351) × R
    7.93999999999517e-05 × 6371000     		dr = 505.857399999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67414828-1.67434003) × cos(-1.14381411) × R
    0.000191749999999935 × 0.41412584679636 × 6371000     		do = 505.912388885748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67414828-1.67434003) × cos(-1.14389351) × R
    0.000191749999999935 × 0.414053574052058 × 6371000     		du = 505.824097664604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14381411)-sin(-1.14389351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41412584679636-0.414053574052058)×R²
    abs(1.67434003-1.67414828)×7.22727443018822e-05×R²
    0.000191749999999935×7.22727443018822e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.22727443018822e-05×40589641000000     		ar = 255897.194420002m²