Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25112 / 29161
↖ ↑ ↗
← N 19.430334°
W 42.055664°		 ← 576.06 m → N 19.430334°
W 42.050171°		 →
↑
576.07 m
↓
↑
576.07 m
↓
N 19.425154°
W 42.055664°		 ← 576.08 m →
331 855 m²		 N 19.425154°
W 42.050171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383186340332031 y=0.444969177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383186340332031 × 216)
    floor (0.383186340332031 × 65536)
    floor (25112.5)     		tx = 25112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444969177246094 × 216)
    floor (0.444969177246094 × 65536)
    floor (29161.5)     		ty = 29161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25112 / 29161 ti = "16/25112/29161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25112/29161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25112 ÷ 216
    25112 ÷ 65536     		x = 0.3831787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29161 ÷ 216
    29161 ÷ 65536     		y = 0.444961547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73400981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    0.110076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345816793859085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73400981} λ = -0.73400981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345816793859085))-π/2
    2×atan(1.41314369549749)-π/2
    2×0.954959815898112-π/2
    1.90991963179622-1.57079632675     		φ = 0.33912331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73400981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33912331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.430334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25112 KachelY 29161 -0.73400981 0.33912331 -42.055664 19.430334
    Oben rechts KachelX + 1 25113 KachelY 29161 -0.73391393 0.33912331 -42.050171 19.430334
    Unten links KachelX 25112 KachelY + 1 29162 -0.73400981 0.33903289 -42.055664 19.425154
    Unten rechts KachelX + 1 25113 KachelY + 1 29162 -0.73391393 0.33903289 -42.050171 19.425154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33912331-0.33903289) × R
    9.04200000000355e-05 × 6371000     		dl = 576.065820000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33912331-0.33903289) × R
    9.04200000000355e-05 × 6371000     		dr = 576.065820000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73400981--0.73391393) × cos(0.33912331) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943046667996012 × 6371000     		do = 576.061452854055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73400981--0.73391393) × cos(0.33903289) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.94307674329974 × 6371000     		du = 576.079824397849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33912331)-sin(0.33903289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943046667996012-0.94307674329974)×R²
    abs(-0.73391393--0.73400981)×3.00753037283386e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00753037283386e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00753037283386e-05×40589641000000     		ar = 331854.605044374m²