Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25111 / 42521
↖ ↑ ↗
← S 47.133688°
W 42.061157°		 ← 415.51 m → S 47.133688°
W 42.055664°		 →
↑
415.52 m
↓
↑
415.52 m
↓
S 47.137425°
W 42.061157°		 ← 415.48 m →
172 646 m²		 S 47.137425°
W 42.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383171081542969 y=0.648826599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383171081542969 × 216)
    floor (0.383171081542969 × 65536)
    floor (25111.5)     		tx = 25111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648826599121094 × 216)
    floor (0.648826599121094 × 65536)
    floor (42521.5)     		ty = 42521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25111 / 42521 ti = "16/25111/42521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25111/42521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25111 ÷ 216
    25111 ÷ 65536     		x = 0.383163452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42521 ÷ 216
    42521 ÷ 65536     		y = 0.648818969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383163452148438 × 2 - 1) × π
    -0.233673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73410568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648818969726562 × 2 - 1) × π
    -0.297637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935057163988815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73410568} λ = -0.73410568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935057163988815))-π/2
    2×atan(0.392563424398911)-π/2
    2×0.374079142761973-π/2
    0.748158285523945-1.57079632675     		φ = -0.82263804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73410568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.061157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82263804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.133688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25111 KachelY 42521 -0.73410568 -0.82263804 -42.061157 -47.133688
    Oben rechts KachelX + 1 25112 KachelY 42521 -0.73400981 -0.82263804 -42.055664 -47.133688
    Unten links KachelX 25111 KachelY + 1 42522 -0.73410568 -0.82270326 -42.061157 -47.137425
    Unten rechts KachelX + 1 25112 KachelY + 1 42522 -0.73400981 -0.82270326 -42.055664 -47.137425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82263804--0.82270326) × R
    6.5220000000088e-05 × 6371000     		dl = 415.516620000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82263804--0.82270326) × R
    6.5220000000088e-05 × 6371000     		dr = 415.516620000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73410568--0.73400981) × cos(-0.82263804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680290043705808 × 6371000     		do = 415.512838748264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73410568--0.73400981) × cos(-0.82270326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680242239715849 × 6371000     		du = 415.48364065584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82263804)-sin(-0.82270326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680290043705808-0.680242239715849)×R²
    abs(-0.73400981--0.73410568)×4.78039899591831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78039899591831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78039899591831e-05×40589641000000     		ar = 172646.424238105m²