Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25111 / 25368
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E 95.877685°		 ← 422.86 m → S 69.748551°
E 95.888672°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
S 69.752354°
E 95.877685°		 ← 422.78 m →
178 760 m²		 S 69.752354°
E 95.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766342163085938 y=0.774185180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766342163085938 × 215)
    floor (0.766342163085938 × 32768)
    floor (25111.5)     		tx = 25111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774185180664062 × 215)
    floor (0.774185180664062 × 32768)
    floor (25368.5)     		ty = 25368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25111 / 25368 ti = "15/25111/25368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25111/25368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25111 ÷ 215
    25111 ÷ 32768     		x = 0.766326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25368 ÷ 215
    25368 ÷ 32768     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766326904296875 × 2 - 1) × π
    0.53265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67338129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67338129} λ = 1.67338129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67338129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.877685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25111 KachelY 25368 1.67338129 -1.21734187 95.877685 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 25112 KachelY 25368 1.67357304 -1.21734187 95.888672 -69.748551
    Unten links KachelX 25111 KachelY + 1 25369 1.67338129 -1.21740823 95.877685 -69.752354
    Unten rechts KachelX + 1 25112 KachelY + 1 25369 1.67357304 -1.21740823 95.888672 -69.752354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21740823) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dl = 422.779559999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21740823) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dr = 422.779559999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67338129-1.67357304) × cos(-1.21734187) × R
    0.000191749999999935 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 422.85915982916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67338129-1.67357304) × cos(-1.21740823) × R
    0.000191749999999935 × 0.346078518949598 × 6371000     		du = 422.783102330554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21740823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346078518949598)×R²
    abs(1.67357304-1.67338129)×6.22585584131308e-05×R²
    0.000191749999999935×6.22585584131308e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.22585584131308e-05×40589641000000     		ar = 178760.131822116m²