Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25111 / 24700
↖ ↑ ↗
← S 67.050304°
E 95.877685°		 ← 476.34 m → S 67.050304°
E 95.888672°		 →
↑
476.30 m
↓
↑
476.30 m
↓
S 67.054587°
E 95.877685°		 ← 476.26 m →
226 861 m²		 S 67.054587°
E 95.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766342163085938 y=0.753799438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766342163085938 × 215)
    floor (0.766342163085938 × 32768)
    floor (25111.5)     		tx = 25111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753799438476562 × 215)
    floor (0.753799438476562 × 32768)
    floor (24700.5)     		ty = 24700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25111 / 24700 ti = "15/25111/24700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25111/24700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25111 ÷ 215
    25111 ÷ 32768     		x = 0.766326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24700 ÷ 215
    24700 ÷ 32768     		y = 0.7537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766326904296875 × 2 - 1) × π
    0.53265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67338129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59457302896155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67338129} λ = 1.67338129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59457302896155))-π/2
    2×atan(0.202995183065848)-π/2
    2×0.200273877712042-π/2
    0.400547755424084-1.57079632675     		φ = -1.17024857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67338129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.877685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17024857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.050304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25111 KachelY 24700 1.67338129 -1.17024857 95.877685 -67.050304
    Oben rechts KachelX + 1 25112 KachelY 24700 1.67357304 -1.17024857 95.888672 -67.050304
    Unten links KachelX 25111 KachelY + 1 24701 1.67338129 -1.17032333 95.877685 -67.054587
    Unten rechts KachelX + 1 25112 KachelY + 1 24701 1.67357304 -1.17032333 95.888672 -67.054587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17024857--1.17032333) × R
    7.47599999999515e-05 × 6371000     		dl = 476.295959999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17024857--1.17032333) × R
    7.47599999999515e-05 × 6371000     		dr = 476.295959999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67338129-1.67357304) × cos(-1.17024857) × R
    0.000191749999999935 × 0.389922801281348 × 6371000     		do = 476.344998515084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67338129-1.67357304) × cos(-1.17032333) × R
    0.000191749999999935 × 0.389853957628976 × 6371000     		du = 476.260896407233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17024857)-sin(-1.17032333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389922801281348-0.389853957628976)×R²
    abs(1.67357304-1.67338129)×6.88436523715863e-05×R²
    0.000191749999999935×6.88436523715863e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.88436523715863e-05×40589641000000     		ar = 226861.169717653m²