Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25109 / 42522
↖ ↑ ↗
← S 47.137425°
W 42.072144°		 ← 415.53 m → S 47.137425°
W 42.066650°		 →
↑
415.52 m
↓
↑
415.52 m
↓
S 47.141161°
W 42.072144°		 ← 415.50 m →
172 652 m²		 S 47.141161°
W 42.066650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383140563964844 y=0.648841857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383140563964844 × 216)
    floor (0.383140563964844 × 65536)
    floor (25109.5)     		tx = 25109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648841857910156 × 216)
    floor (0.648841857910156 × 65536)
    floor (42522.5)     		ty = 42522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25109 / 42522 ti = "16/25109/42522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25109/42522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25109 ÷ 216
    25109 ÷ 65536     		x = 0.383132934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42522 ÷ 216
    42522 ÷ 65536     		y = 0.648834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383132934570312 × 2 - 1) × π
    -0.233734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73429743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.29766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935153037788055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73429743} λ = -0.73429743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935153037788055))-π/2
    2×atan(0.392525789656092)-π/2
    2×0.374046532912264-π/2
    0.748093065824527-1.57079632675     		φ = -0.82270326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73429743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.072144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82270326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.137425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25109 KachelY 42522 -0.73429743 -0.82270326 -42.072144 -47.137425
    Oben rechts KachelX + 1 25110 KachelY 42522 -0.73420155 -0.82270326 -42.066650 -47.137425
    Unten links KachelX 25109 KachelY + 1 42523 -0.73429743 -0.82276848 -42.072144 -47.141161
    Unten rechts KachelX + 1 25110 KachelY + 1 42523 -0.73420155 -0.82276848 -42.066650 -47.141161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82270326--0.82276848) × R
    6.5219999999977e-05 × 6371000     		dl = 415.516619999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82270326--0.82276848) × R
    6.5219999999977e-05 × 6371000     		dr = 415.516619999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73429743--0.73420155) × cos(-0.82270326) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.680242239715849 × 6371000     		do = 415.52697888915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73429743--0.73420155) × cos(-0.82276848) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		du = 415.497775983627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82270326)-sin(-0.82276848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680242239715849-0.680194432832378)×R²
    abs(-0.73420155--0.73429743)×4.78068834703915e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78068834703915e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78068834703915e-05×40589641000000     		ar = 172652.298701952m²