Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25109 / 42520
↖ ↑ ↗
← S 47.129951°
W 42.072144°		 ← 415.59 m → S 47.129951°
W 42.066650°		 →
↑
415.52 m
↓
↑
415.52 m
↓
S 47.133688°
W 42.072144°		 ← 415.56 m →
172 677 m²		 S 47.133688°
W 42.066650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383140563964844 y=0.648811340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383140563964844 × 216)
    floor (0.383140563964844 × 65536)
    floor (25109.5)     		tx = 25109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648811340332031 × 216)
    floor (0.648811340332031 × 65536)
    floor (42520.5)     		ty = 42520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25109 / 42520 ti = "16/25109/42520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25109/42520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25109 ÷ 216
    25109 ÷ 65536     		x = 0.383132934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42520 ÷ 216
    42520 ÷ 65536     		y = 0.6488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383132934570312 × 2 - 1) × π
    -0.233734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73429743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.934961290189575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73429743} λ = -0.73429743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934961290189575))-π/2
    2×atan(0.392601062750087)-π/2
    2×0.374111754903257-π/2
    0.748223509806514-1.57079632675     		φ = -0.82257282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73429743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.072144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82257282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.129951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25109 KachelY 42520 -0.73429743 -0.82257282 -42.072144 -47.129951
    Oben rechts KachelX + 1 25110 KachelY 42520 -0.73420155 -0.82257282 -42.066650 -47.129951
    Unten links KachelX 25109 KachelY + 1 42521 -0.73429743 -0.82263804 -42.072144 -47.133688
    Unten rechts KachelX + 1 25110 KachelY + 1 42521 -0.73420155 -0.82263804 -42.066650 -47.133688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82257282--0.82263804) × R
    6.5219999999977e-05 × 6371000     		dl = 415.516619999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82257282--0.82263804) × R
    6.5219999999977e-05 × 6371000     		dr = 415.516619999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73429743--0.73420155) × cos(-0.82257282) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.680337844802052 × 6371000     		do = 415.585379397553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73429743--0.73420155) × cos(-0.82263804) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.680290043705808 × 6371000     		du = 415.556180027166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82257282)-sin(-0.82263804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680337844802052-0.680290043705808)×R²
    abs(-0.73420155--0.73429743)×4.78010962443598e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78010962443598e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78010962443598e-05×40589641000000     		ar = 172676.565818124m²