Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25108 / 42524
↖ ↑ ↗
← S 47.144898°
W 42.077637°		 ← 415.43 m → S 47.144898°
W 42.072144°		 →
↑
415.39 m
↓
↑
415.39 m
↓
S 47.148633°
W 42.077637°		 ← 415.40 m →
172 557 m²		 S 47.148633°
W 42.072144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383125305175781 y=0.648872375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383125305175781 × 216)
    floor (0.383125305175781 × 65536)
    floor (25108.5)     		tx = 25108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648872375488281 × 216)
    floor (0.648872375488281 × 65536)
    floor (42524.5)     		ty = 42524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25108 / 42524 ti = "16/25108/42524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25108/42524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25108 ÷ 216
    25108 ÷ 65536     		x = 0.38311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42524 ÷ 216
    42524 ÷ 65536     		y = 0.64886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64886474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.935344785386536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73439330} λ = -0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935344785386536))-π/2
    2×atan(0.392450530994149)-π/2
    2×0.373981320087484-π/2
    0.747962640174967-1.57079632675     		φ = -0.82283369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82283369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.144898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25108 KachelY 42524 -0.73439330 -0.82283369 -42.077637 -47.144898
    Oben rechts KachelX + 1 25109 KachelY 42524 -0.73429743 -0.82283369 -42.072144 -47.144898
    Unten links KachelX 25108 KachelY + 1 42525 -0.73439330 -0.82289889 -42.077637 -47.148633
    Unten rechts KachelX + 1 25109 KachelY + 1 42525 -0.73429743 -0.82289889 -42.072144 -47.148633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82283369--0.82289889) × R
    6.52000000000985e-05 × 6371000     		dl = 415.389200000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82283369--0.82289889) × R
    6.52000000000985e-05 × 6371000     		dr = 415.389200000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73439330--0.73429743) × cos(-0.82283369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680146630386361 × 6371000     		do = 415.425243646691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73439330--0.73429743) × cos(-0.82289889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68009883237933 × 6371000     		du = 415.396049208566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82283369)-sin(-0.82289889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680146630386361-0.68009883237933)×R²
    abs(-0.73429743--0.73439330)×4.77980070304751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77980070304751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77980070304751e-05×40589641000000     		ar = 172557.096152097m²