Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25108 / 25394
↖ ↑ ↗
← S 69.847194°
E 95.844727°		 ← 420.89 m → S 69.847194°
E 95.855713°		 →
↑
420.80 m
↓
↑
420.80 m
↓
S 69.850978°
E 95.844727°		 ← 420.81 m →
177 095 m²		 S 69.850978°
E 95.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766250610351562 y=0.774978637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766250610351562 × 215)
    floor (0.766250610351562 × 32768)
    floor (25108.5)     		tx = 25108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774978637695312 × 215)
    floor (0.774978637695312 × 32768)
    floor (25394.5)     		ty = 25394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25108 / 25394 ti = "15/25108/25394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25108/25394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25108 ÷ 215
    25108 ÷ 32768     		x = 0.7662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25394 ÷ 215
    25394 ÷ 32768     		y = 0.77496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    0.532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67280605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.5499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72764586230682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67280605} λ = 1.67280605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72764586230682))-π/2
    2×atan(0.177702253519453)-π/2
    2×0.175866414053121-π/2
    0.351732828106242-1.57079632675     		φ = -1.21906350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67280605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21906350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.847194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25108 KachelY 25394 1.67280605 -1.21906350 95.844727 -69.847194
    Oben rechts KachelX + 1 25109 KachelY 25394 1.67299780 -1.21906350 95.855713 -69.847194
    Unten links KachelX 25108 KachelY + 1 25395 1.67280605 -1.21912955 95.844727 -69.850978
    Unten rechts KachelX + 1 25109 KachelY + 1 25395 1.67299780 -1.21912955 95.855713 -69.850978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21906350--1.21912955) × R
    6.60499999998176e-05 × 6371000     		dl = 420.804549998838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21906350--1.21912955) × R
    6.60499999998176e-05 × 6371000     		dr = 420.804549998838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67280605-1.67299780) × cos(-1.21906350) × R
    0.000191750000000157 × 0.344525062040496 × 6371000     		do = 420.8853383977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67280605-1.67299780) × cos(-1.21912955) × R
    0.000191750000000157 × 0.344463055060232 × 6371000     		du = 420.809588236835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21906350)-sin(-1.21912955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344525062040496-0.344463055060232)×R²
    abs(1.67299780-1.67280605)×6.2006980264484e-05×R²
    0.000191750000000157×6.2006980264484e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.2006980264484e-05×40589641000000     		ar = 177094.527484456m²