Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25108 / 24332
↖ ↑ ↗
← S 65.421729°
E 95.844727°		 ← 508.12 m → S 65.421729°
E 95.855713°		 →
↑
508.09 m
↓
↑
508.09 m
↓
S 65.426299°
E 95.844727°		 ← 508.04 m →
258 149 m²		 S 65.426299°
E 95.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766250610351562 y=0.742568969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766250610351562 × 215)
    floor (0.766250610351562 × 32768)
    floor (25108.5)     		tx = 25108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742568969726562 × 215)
    floor (0.742568969726562 × 32768)
    floor (24332.5)     		ty = 24332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25108 / 24332 ti = "15/25108/24332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25108/24332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25108 ÷ 215
    25108 ÷ 32768     		x = 0.7662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24332 ÷ 215
    24332 ÷ 32768     		y = 0.7425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    0.532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67280605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52400991272083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67280605} λ = 1.67280605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52400991272083))-π/2
    2×atan(0.21783662740453)-π/2
    2×0.214485871484421-π/2
    0.428971742968842-1.57079632675     		φ = -1.14182458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67280605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14182458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.421729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25108 KachelY 24332 1.67280605 -1.14182458 95.844727 -65.421729
    Oben rechts KachelX + 1 25109 KachelY 24332 1.67299780 -1.14182458 95.855713 -65.421729
    Unten links KachelX 25108 KachelY + 1 24333 1.67280605 -1.14190433 95.844727 -65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 25109 KachelY + 1 24333 1.67299780 -1.14190433 95.855713 -65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14182458--1.14190433) × R
    7.97500000000451e-05 × 6371000     		dl = 508.087250000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14182458--1.14190433) × R
    7.97500000000451e-05 × 6371000     		dr = 508.087250000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67280605-1.67299780) × cos(-1.14182458) × R
    0.000191750000000157 × 0.415935935268779 × 6371000     		do = 508.123664010216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67280605-1.67299780) × cos(-1.14190433) × R
    0.000191750000000157 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 508.03506402799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14182458)-sin(-1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415935935268779-0.415863409781221)×R²
    abs(1.67299780-1.67280605)×7.25254875578729e-05×R²
    0.000191750000000157×7.25254875578729e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.25254875578729e-05×40589641000000     		ar = 258148.646983578m²