Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25107 / 29003
↖ ↑ ↗
← N 20.246737°
W 42.083130°		 ← 573.11 m → N 20.246737°
W 42.077637°		 →
↑
573.07 m
↓
↑
573.07 m
↓
N 20.241583°
W 42.083130°		 ← 573.13 m →
328 437 m²		 N 20.241583°
W 42.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383110046386719 y=0.442558288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383110046386719 × 216)
    floor (0.383110046386719 × 65536)
    floor (25107.5)     		tx = 25107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442558288574219 × 216)
    floor (0.442558288574219 × 65536)
    floor (29003.5)     		ty = 29003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25107 / 29003 ti = "16/25107/29003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25107/29003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25107 ÷ 216
    25107 ÷ 65536     		x = 0.383102416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29003 ÷ 216
    29003 ÷ 65536     		y = 0.442550659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383102416992188 × 2 - 1) × π
    -0.233795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73448918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442550659179688 × 2 - 1) × π
    0.114898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.360964854139023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73448918} λ = -0.73448918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360964854139023))-π/2
    2×atan(1.43471303576755)-π/2
    2×0.962084272075546-π/2
    1.92416854415109-1.57079632675     		φ = 0.35337222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73448918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.083130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35337222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.246737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25107 KachelY 29003 -0.73448918 0.35337222 -42.083130 20.246737
    Oben rechts KachelX + 1 25108 KachelY 29003 -0.73439330 0.35337222 -42.077637 20.246737
    Unten links KachelX 25107 KachelY + 1 29004 -0.73448918 0.35328227 -42.083130 20.241583
    Unten rechts KachelX + 1 25108 KachelY + 1 29004 -0.73439330 0.35328227 -42.077637 20.241583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35337222-0.35328227) × R
    8.99500000000053e-05 × 6371000     		dl = 573.071450000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35337222-0.35328227) × R
    8.99500000000053e-05 × 6371000     		dr = 573.071450000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73448918--0.73439330) × cos(0.35337222) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938211046988662 × 6371000     		do = 573.107606604998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73448918--0.73439330) × cos(0.35328227) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		du = 573.126619129668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35337222)-sin(0.35328227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938211046988662-0.938242171615994)×R²
    abs(-0.73439330--0.73448918)×3.11246273316801e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11246273316801e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11246273316801e-05×40589641000000     		ar = 328437.055112156m²