Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25107 / 25395
↖ ↑ ↗
← S 69.850978°
E 95.833740°		 ← 420.81 m → S 69.850978°
E 95.844727°		 →
↑
420.80 m
↓
↑
420.80 m
↓
S 69.854762°
E 95.833740°		 ← 420.73 m →
177 063 m²		 S 69.854762°
E 95.844727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766220092773438 y=0.775009155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766220092773438 × 215)
    floor (0.766220092773438 × 32768)
    floor (25107.5)     		tx = 25107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775009155273438 × 215)
    floor (0.775009155273438 × 32768)
    floor (25395.5)     		ty = 25395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25107 / 25395 ti = "15/25107/25395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25107/25395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25107 ÷ 215
    25107 ÷ 32768     		x = 0.766204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25395 ÷ 215
    25395 ÷ 32768     		y = 0.774993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    0.53240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67261430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.54998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7278376099053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67261430} λ = 1.67261430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7278376099053))-π/2
    2×atan(0.177668182805689)-π/2
    2×0.175833386099137-π/2
    0.351666772198275-1.57079632675     		φ = -1.21912955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67261430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21912955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.850978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25107 KachelY 25395 1.67261430 -1.21912955 95.833740 -69.850978
    Oben rechts KachelX + 1 25108 KachelY 25395 1.67280605 -1.21912955 95.844727 -69.850978
    Unten links KachelX 25107 KachelY + 1 25396 1.67261430 -1.21919560 95.833740 -69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 25108 KachelY + 1 25396 1.67280605 -1.21919560 95.844727 -69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21912955--1.21919560) × R
    6.60500000000397e-05 × 6371000     		dl = 420.804550000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21912955--1.21919560) × R
    6.60500000000397e-05 × 6371000     		dr = 420.804550000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67261430-1.67280605) × cos(-1.21912955) × R
    0.000191749999999935 × 0.344463055060232 × 6371000     		do = 420.809588236348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67261430-1.67280605) × cos(-1.21919560) × R
    0.000191749999999935 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 420.733836239658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21912955)-sin(-1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344463055060232-0.344401046577212)×R²
    abs(1.67280605-1.67261430)×6.20084830200707e-05×R²
    0.000191749999999935×6.20084830200707e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.20084830200707e-05×40589641000000     		ar = 177062.651085132m²