Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25106 / 25460
↖ ↑ ↗
← S 70.095529°
E 95.822754°		 ← 415.91 m → S 70.095529°
E 95.833740°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
S 70.099269°
E 95.822754°		 ← 415.84 m →
172 935 m²		 S 70.099269°
E 95.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766189575195312 y=0.776992797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766189575195312 × 215)
    floor (0.766189575195312 × 32768)
    floor (25106.5)     		tx = 25106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776992797851562 × 215)
    floor (0.776992797851562 × 32768)
    floor (25460.5)     		ty = 25460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25106 / 25460 ti = "15/25106/25460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25106/25460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25106 ÷ 215
    25106 ÷ 32768     		x = 0.76617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25460 ÷ 215
    25460 ÷ 32768     		y = 0.7769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    0.5323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67242255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74030120380652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67242255} λ = 1.67242255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74030120380652))-π/2
    2×atan(0.175467541165343)-π/2
    2×0.173699278599231-π/2
    0.347398557198462-1.57079632675     		φ = -1.22339777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67242255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22339777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.095529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25106 KachelY 25460 1.67242255 -1.22339777 95.822754 -70.095529
    Oben rechts KachelX + 1 25107 KachelY 25460 1.67261430 -1.22339777 95.833740 -70.095529
    Unten links KachelX 25106 KachelY + 1 25461 1.67242255 -1.22346304 95.822754 -70.099269
    Unten rechts KachelX + 1 25107 KachelY + 1 25461 1.67261430 -1.22346304 95.833740 -70.099269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22339777--1.22346304) × R
    6.52699999998951e-05 × 6371000     		dl = 415.835169999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22339777--1.22346304) × R
    6.52699999998951e-05 × 6371000     		dr = 415.835169999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67242255-1.67261430) × cos(-1.22339777) × R
    0.000191749999999935 × 0.340452925169916 × 6371000     		do = 415.910656164741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67242255-1.67261430) × cos(-1.22346304) × R
    0.000191749999999935 × 0.340391553572587 × 6371000     		du = 415.835682212609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22339777)-sin(-1.22346304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340452925169916-0.340391553572587)×R²
    abs(1.67261430-1.67242255)×6.13715973289408e-05×R²
    0.000191749999999935×6.13715973289408e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.13715973289408e-05×40589641000000     		ar = 172934.690068899m²