Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25105 / 25457
↖ ↑ ↗
← S 70.084305°
E 95.811768°		 ← 416.11 m → S 70.084305°
E 95.822754°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
S 70.088047°
E 95.811768°		 ← 416.04 m →
173 125 m²		 S 70.088047°
E 95.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766159057617188 y=0.776901245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766159057617188 × 215)
    floor (0.766159057617188 × 32768)
    floor (25105.5)     		tx = 25105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776901245117188 × 215)
    floor (0.776901245117188 × 32768)
    floor (25457.5)     		ty = 25457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25105 / 25457 ti = "15/25105/25457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25105/25457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25105 ÷ 215
    25105 ÷ 32768     		x = 0.766143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25457 ÷ 215
    25457 ÷ 32768     		y = 0.776885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    0.53228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67223081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.55377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73972596101108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67223081} λ = 1.67223081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73972596101108))-π/2
    2×atan(0.175568506641279)-π/2
    2×0.173797226631523-π/2
    0.347594453263046-1.57079632675     		φ = -1.22320187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67223081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22320187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.084305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25105 KachelY 25457 1.67223081 -1.22320187 95.811768 -70.084305
    Oben rechts KachelX + 1 25106 KachelY 25457 1.67242255 -1.22320187 95.822754 -70.084305
    Unten links KachelX 25105 KachelY + 1 25458 1.67223081 -1.22326718 95.811768 -70.088047
    Unten rechts KachelX + 1 25106 KachelY + 1 25458 1.67242255 -1.22326718 95.822754 -70.088047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22320187--1.22326718) × R
    6.53099999998741e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22320187--1.22326718) × R
    6.53099999998741e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.22320187) × R
    0.000191739999999996 × 0.340637115876065 × 6371000     		do = 416.113968770338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.22326718) × R
    0.000191739999999996 × 0.340575711024003 × 6371000     		du = 416.038958105021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22320187)-sin(-1.22326718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340637115876065-0.340575711024003)×R²
    abs(1.67242255-1.67223081)×6.14048520622412e-05×R²
    0.000191739999999996×6.14048520622412e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.14048520622412e-05×40589641000000     		ar = 173125.259893451m²