Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25105 / 25454
↖ ↑ ↗
← S 70.073075°
E 95.811768°		 ← 416.34 m → S 70.073075°
E 95.822754°		 →
↑
416.34 m
↓
↑
416.34 m
↓
S 70.076819°
E 95.811768°		 ← 416.26 m →
173 325 m²		 S 70.076819°
E 95.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766159057617188 y=0.776809692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766159057617188 × 215)
    floor (0.766159057617188 × 32768)
    floor (25105.5)     		tx = 25105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776809692382812 × 215)
    floor (0.776809692382812 × 32768)
    floor (25454.5)     		ty = 25454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25105 / 25454 ti = "15/25105/25454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25105/25454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25105 ÷ 215
    25105 ÷ 32768     		x = 0.766143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25454 ÷ 215
    25454 ÷ 32768     		y = 0.77679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    0.53228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67223081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.5535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67223081} λ = 1.67223081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73915071821564))-π/2
    2×atan(0.175669530213586)-π/2
    2×0.173895227652387-π/2
    0.347790455304774-1.57079632675     		φ = -1.22300587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67223081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22300587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.073075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25105 KachelY 25454 1.67223081 -1.22300587 95.811768 -70.073075
    Oben rechts KachelX + 1 25106 KachelY 25454 1.67242255 -1.22300587 95.822754 -70.073075
    Unten links KachelX 25105 KachelY + 1 25455 1.67223081 -1.22307122 95.811768 -70.076819
    Unten rechts KachelX + 1 25106 KachelY + 1 25455 1.67242255 -1.22307122 95.822754 -70.076819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22300587--1.22307122) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dl = 416.344850000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22300587--1.22307122) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dr = 416.344850000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.22300587) × R
    0.000191739999999996 × 0.340821387522457 × 6371000     		do = 416.339070506285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.22307122) × R
    0.000191739999999996 × 0.340759949425581 × 6371000     		du = 416.264019229918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22300587)-sin(-1.22307122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340821387522457-0.340759949425581)×R²
    abs(1.67242255-1.67223081)×6.14380968753103e-05×R²
    0.000191739999999996×6.14380968753103e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.14380968753103e-05×40589641000000     		ar = 173325.004314306m²