Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25105 / 24853
↖ ↑ ↗
← S 67.696941°
E 95.811768°		 ← 463.59 m → S 67.696941°
E 95.822754°		 →
↑
463.55 m
↓
↑
463.55 m
↓
S 67.701110°
E 95.811768°		 ← 463.51 m →
214 882 m²		 S 67.701110°
E 95.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766159057617188 y=0.758468627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766159057617188 × 215)
    floor (0.766159057617188 × 32768)
    floor (25105.5)     		tx = 25105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758468627929688 × 215)
    floor (0.758468627929688 × 32768)
    floor (24853.5)     		ty = 24853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25105 / 24853 ti = "15/25105/24853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25105/24853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25105 ÷ 215
    25105 ÷ 32768     		x = 0.766143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24853 ÷ 215
    24853 ÷ 32768     		y = 0.758453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    0.53228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67223081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.51690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62391041152902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67223081} λ = 1.67223081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62391041152902))-π/2
    2×atan(0.197126344824831)-π/2
    2×0.194630909095691-π/2
    0.389261818191382-1.57079632675     		φ = -1.18153451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67223081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18153451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.696941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25105 KachelY 24853 1.67223081 -1.18153451 95.811768 -67.696941
    Oben rechts KachelX + 1 25106 KachelY 24853 1.67242255 -1.18153451 95.822754 -67.696941
    Unten links KachelX 25105 KachelY + 1 24854 1.67223081 -1.18160727 95.811768 -67.701110
    Unten rechts KachelX + 1 25106 KachelY + 1 24854 1.67242255 -1.18160727 95.822754 -67.701110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18153451--1.18160727) × R
    7.2759999999894e-05 × 6371000     		dl = 463.553959999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18153451--1.18160727) × R
    7.2759999999894e-05 × 6371000     		dr = 463.553959999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.18153451) × R
    0.000191739999999996 × 0.379505559265859 × 6371000     		do = 463.594708493183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67223081-1.67242255) × cos(-1.18160727) × R
    0.000191739999999996 × 0.379438241476506 × 6371000     		du = 463.512474728303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18153451)-sin(-1.18160727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379505559265859-0.379438241476506)×R²
    abs(1.67242255-1.67223081)×6.731778935265e-05×R²
    0.000191739999999996×6.731778935265e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.731778935265e-05×40589641000000     		ar = 214882.103157931m²