Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25101 / 35325
↖ ↑ ↗
← N 63.552223°
W111.058045°		 ← 136.03 m → N 63.552223°
W111.055298°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 63.550999°
W111.058045°		 ← 136.04 m →
18 503 m²		 N 63.550999°
W111.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191509246826172 y=0.269512176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191509246826172 × 217)
    floor (0.191509246826172 × 131072)
    floor (25101.5)     		tx = 25101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269512176513672 × 217)
    floor (0.269512176513672 × 131072)
    floor (35325.5)     		ty = 35325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25101 / 35325 ti = "17/25101/35325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25101/35325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25101 ÷ 217
    25101 ÷ 131072     		x = 0.191505432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35325 ÷ 217
    35325 ÷ 131072     		y = 0.269508361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191505432128906 × 2 - 1) × π
    -0.616989135742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.93832854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269508361816406 × 2 - 1) × π
    0.460983276367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.44822167442152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93832854} λ = -1.93832854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44822167442152))-π/2
    2×atan(4.25554004651431)-π/2
    2×1.33999592645635-π/2
    2.67999185291269-1.57079632675     		φ = 1.10919553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93832854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.058045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10919553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.552223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25101 KachelY 35325 -1.93832854 1.10919553 -111.058045 63.552223
    Oben rechts KachelX + 1 25102 KachelY 35325 -1.93828060 1.10919553 -111.055298 63.552223
    Unten links KachelX 25101 KachelY + 1 35326 -1.93832854 1.10917418 -111.058045 63.550999
    Unten rechts KachelX + 1 25102 KachelY + 1 35326 -1.93828060 1.10917418 -111.055298 63.550999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10919553-1.10917418) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dl = 136.020850000905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10919553-1.10917418) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dr = 136.020850000905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93832854--1.93828060) × cos(1.10919553) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.445381935499425 × 6371000     		do = 136.031107233085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93832854--1.93828060) × cos(1.10917418) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		du = 136.036945574991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10919553)-sin(1.10917418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445381935499425-0.445401050921413)×R²
    abs(-1.93828060--1.93832854)×1.91154219884582e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.91154219884582e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.91154219884582e-05×40589641000000     		ar = 18503.4639010544m²