Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25099 / 35323
↖ ↑ ↗
← N 63.554668°
W111.063538°		 ← 136.02 m → N 63.554668°
W111.060791°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 63.553446°
W111.063538°		 ← 136.03 m →
18 493 m²		 N 63.553446°
W111.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191493988037109 y=0.269496917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191493988037109 × 217)
    floor (0.191493988037109 × 131072)
    floor (25099.5)     		tx = 25099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269496917724609 × 217)
    floor (0.269496917724609 × 131072)
    floor (35323.5)     		ty = 35323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25099 / 35323 ti = "17/25099/35323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25099/35323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25099 ÷ 217
    25099 ÷ 131072     		x = 0.191490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35323 ÷ 217
    35323 ÷ 131072     		y = 0.269493103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191490173339844 × 2 - 1) × π
    -0.617019653320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.93842441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269493103027344 × 2 - 1) × π
    0.461013793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.44831754822076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93842441} λ = -1.93842441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44831754822076))-π/2
    2×atan(4.25594806086502)-π/2
    2×1.34001727576932-π/2
    2.68003455153864-1.57079632675     		φ = 1.10923822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93842441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.063538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10923822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.554668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25099 KachelY 35323 -1.93842441 1.10923822 -111.063538 63.554668
    Oben rechts KachelX + 1 25100 KachelY 35323 -1.93837647 1.10923822 -111.060791 63.554668
    Unten links KachelX 25099 KachelY + 1 35324 -1.93842441 1.10921688 -111.063538 63.553446
    Unten rechts KachelX + 1 25100 KachelY + 1 35324 -1.93837647 1.10921688 -111.060791 63.553446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10923822-1.10921688) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10923822-1.10921688) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93842441--1.93837647) × cos(1.10923822) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.445343713000009 × 6371000     		do = 136.019433097916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93842441--1.93837647) × cos(1.10921688) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.445362819874422 × 6371000     		du = 136.025268829173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10923822)-sin(1.10921688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445343713000009-0.445362819874422)×R²
    abs(-1.93837647--1.93842441)×1.91068744128664e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.91068744128664e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.91068744128664e-05×40589641000000     		ar = 18493.2098137728m²