Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25098 / 57530
↖ ↑ ↗
← N 21.468405°
W111.066284°		 ← 284.24 m → N 21.468405°
W111.063538°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.465849°
W111.066284°		 ← 284.24 m →
80 783 m²		 N 21.465849°
W111.063538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191486358642578 y=0.438922882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191486358642578 × 217)
    floor (0.191486358642578 × 131072)
    floor (25098.5)     		tx = 25098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438922882080078 × 217)
    floor (0.438922882080078 × 131072)
    floor (57530.5)     		ty = 57530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25098 / 57530 ti = "17/25098/57530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25098/57530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25098 ÷ 217
    25098 ÷ 131072     		x = 0.191482543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57530 ÷ 217
    57530 ÷ 131072     		y = 0.438919067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191482543945312 × 2 - 1) × π
    -0.617034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.93847235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438919067382812 × 2 - 1) × π
    0.122161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.38378281835817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93847235} λ = -1.93847235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38378281835817))-π/2
    2×atan(1.46782662206666)-π/2
    2×0.972745344631148-π/2
    1.9454906892623-1.57079632675     		φ = 0.37469436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93847235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.066284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37469436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.468405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25098 KachelY 57530 -1.93847235 0.37469436 -111.066284 21.468405
    Oben rechts KachelX + 1 25099 KachelY 57530 -1.93842441 0.37469436 -111.063538 21.468405
    Unten links KachelX 25098 KachelY + 1 57531 -1.93847235 0.37464975 -111.066284 21.465849
    Unten rechts KachelX + 1 25099 KachelY + 1 57531 -1.93842441 0.37464975 -111.063538 21.465849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37469436-0.37464975) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37469436-0.37464975) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93847235--1.93842441) × cos(0.37469436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9306195259843 × 6371000     		do = 284.235157382018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93847235--1.93842441) × cos(0.37464975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930635851787964 × 6371000     		du = 284.240143702683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37469436)-sin(0.37464975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9306195259843-0.930635851787964)×R²
    abs(-1.93842441--1.93847235)×1.63258036639524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63258036639524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63258036639524e-05×40589641000000     		ar = 80783.270787731m²